用“物理補償法”突破數學積分的限制＊

孫萬軍

（江蘇省六合高級中學，江蘇 南京 211500）

現用普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2（人民教育出版社）第5章第2節給出了正弦交變電流的有效值與其最大值之間的關系和.由于高中學生的知識水平所限以及《高中物理課程標準》中對正弦交變電流的有效值與其最大值之間關系的證明不作更高要求，筆者在課堂上對此并不做過多拓展.但在高三復習過程中，筆者發現很多學生對此問題的探討具有濃厚興趣；卻因知識層次所限，苦于不知如何推導得出兩者之間的關系而苦惱.傳統的證明方法是運用高等數學中微積分的方法，但這不符合中學物理的教學實際.那么，有沒有什么方法能突破這個限制呢？答案是肯定的.筆者在課余時間，對學有余力（參加奧賽）的學生，運用了高等數學中微積分的方法和中學物理中的“補償法”，結合中學物理教學實際對正弦交流電的有效值與其最大值之間的關系進行了推導，從而消除了學生的疑惑；順勢把兩種方法做了對比，讓學生體會“物理補償法”在此的“妙用”，并希望以此進一步引導學生學會運用類似方法提高解決相關物理問題的能力，增加學生的物理學科素養.

交變電流的有效值是根據電流的熱效應來規定的，讓交變電流和恒定電流通過相同阻值的電阻，如果它們在交變電流的一個周期內產生的熱量相等，就把這一恒定電流的數值叫做這一交變電流的有效值.

方法1：數學積分法.

如圖1所示的交變電流，它的瞬時表達式為u＝Umsinωt，其中.在一個周期內產生的熱量可表達為

圖1

由于Um、R為常量，可拿到積分號前面，故

注意到：2sin2θ＝1-cos2θ，故上式可改寫為

方法2：物理補償法.

假設有兩個交變電壓，其變化規律如圖2、圖3所示，它們的最大值與周期都相同，它們的瞬時表達式分別為u＝Usinωt、u＝Ucosωt，其中把它們分別加在1m2m兩個阻值相同的電阻上，設電阻的阻值為R，由于電流的熱效應與電流的方向及先后作用的時間順序無關，故在一個周期內兩個交變電流產生的焦耳熱相同，設都為Q，產生的總的焦耳熱Q總＝2Q.設它們交變電壓的有效值為U，則有

圖2

圖3

另外，在任一時刻t，這兩個電阻上的熱功率分別為

兩個電阻上總的發熱功率為

可以看出，兩個電阻上總的發熱功率是一定值，與時刻t無關，所以在一個周期內兩個電阻上總的發熱量為

方法對比：在介紹完兩種方法后，筆者讓學生對兩種方法作出評價.學生普遍認為數學方法雖然很“高深”（因為高中階段對微積分不作高要求），但顯得比較“古板”；而對物理方法是大加贊賞，認為物理方法巧妙靈活，有明顯的物理意義.

結束語：在高中物理中，有很多問題既可以用數學方法求解，也可以用物理方法求解（其實，數學方法中含有物理思想，物理方法中也含有數學成份.這里是指側重數學方法和側重物理方法）.當兩種方法都可以解決問題時，建議物理教師先采用數學方法，這種方法邏輯性強，是探究未知領域的根本方法，有較強的說服力，能讓學生心服口服，但物理意義不明顯；再運用物理方法求解，讓學生體會物理方法求解問題的巧妙性，加深對物理過程的認識和理解.在平時的練習和考試中，如果遇到相關問題，應鼓勵學生首選物理方法.