用角速度比較法求復擺的周期

陸天明

（南京師范大學附屬中學江寧分校，江蘇 南京 211102）

在重力場中，將一任意形狀的不可形變的物體（剛體）穿過水平軸懸掛起來，使其做小角度擺動，不計一切阻力和摩擦力，這就構成了復擺，復擺又稱物理擺，如圖1所示，其中rC為懸掛點O到質心C的距離.對某一確定的復擺，其微小振動的周期是一個定值.復擺周期公式的證明較為復雜，通常要用到高等數學的知識.其實可以通過對復擺轉動的角速度進行分析并與單擺進行比較，可以巧妙地得到復擺的周期公式.

這里需要特別說明的是，雖然全國中學生物理競賽對質點和質點組的角動量定理、角動量守恒定律提出了要求，并明顯地反映在多年來的競賽試題中，但同時也明確提出不引入轉動慣量的概念，這是令競賽教練們感到費解的地方.實際上，在分析相關賽題時，都要運用轉動慣量的概念.所以筆者認為，在實際的教學中根本沒有必要回避轉動慣量這個重要的物理概念，而且筆者在實際教學中發現，學生對轉動慣量的理解并沒有多少困難.

學生一旦有轉動慣量的概念，就可以討論上述復擺的周期問題了.對于這個問題，學生們最容易犯的錯誤就是想當然地認為復擺的周期為

圖1

怎樣用初等方法求出復擺的周期呢？

如圖1所示，設復擺的幅角為θ0，那么當復擺擺到任一個角度θ時，由機械能守恒得

式中I為復擺繞懸掛點O的轉動慣量.在任一個位置的角速度為

如圖2所示，構造一個單擺，設其擺長為l，幅角也為θ0，則當單擺擺到任一角度θ時，由機械能守恒得

在任一位置的速度為

由線速度和角速度的關系v2＝ω2l，可以得到

圖2

由（2）、（3）兩式可知

對于一個復擺和單擺，因為m、I均不變，即在任一角度θ處，角速度之比都是一個定值，所以兩種擺的周期之比也應為

當然也可以通過簡單的數學推導.對于任意一個無窮小的角位移Δθ，復擺和單擺所用時間分別為Δt1＝和Δt2＝，所以有

周期為無數個這些小時間段之和，即復擺的周期為T1＝ ∑Δt1，單擺的周期為T2＝ ∑Δt2，所以有

代入（4）式可得

最后還要說明的是，一般情況下復擺的轉動慣量不等于I＝mrC2，所以一般l0≠rC，所以我們不能想當然地認為復擺的周期相當于一個擺長為rC的單擺的周期，即認為復擺的周期為的想法是錯誤的.

1 李增林.力學［M］.南京：南京工學院出版社，1988：269-270.