打點計時器測自由落體加速度實驗中由于重錘晃動引起的誤差分析

褚文偉

（浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學，浙江 桐鄉 314500）

1 問題的提出

實驗總是有誤差存在的.問題是我們怎樣去面對有誤差的結果.在“用打點計時器測自由落體加速度”的實驗中，因為儀器的限制，實際測得的自由落體加速度值與標準值差別較大，甚至于學生覺得根本就是一個錯誤的結果.所以有時候實驗中的誤差是致命的.

“用打點計時器測自由落體加速度”的實驗中產生誤差的原因是什么？因為實驗中有摩擦阻力的存在，包括空氣阻力和紙帶與計時器之間的阻力，它們是產生誤差的主要原因.但是實驗結果與理論有差別.因為“空氣阻力”和“紙帶與計時器之間的阻力”比較固定，每組實驗應該有類似的摩擦阻力，但是各組實驗得到的重力加速度值相差甚遠.班級中有幾個學生得到的重力加速度值低于9.0m／s2，另外又有幾組測得的重力加速度值又非常接近于9.8m／s2，這是什么原因導致的？是否還有其他因素存在影響了實驗的結果？

2 可能原因猜測

教師通過觀察，偶然發現，學生在實驗中并不重視重錘下落時是否是靜止的（如圖1），有的學生在重錘還在晃動的過程中就放手了，有的學生總是等到重錘靜止之后才放手，因此猜測重錘在下落過程中的晃動可能也是帶來誤差的原因.聯想到旋轉的竹蜻蜓下落的速度會變慢，可能像緩慢下落的竹蜻蜓一樣，晃動中下落的重物受到的空氣阻力更大，其下落的速度也會變慢.這只是合理的猜測，那么晃動對重錘在下落時的速度有怎樣的影響？可以通過實驗來驗證.

3 設計實驗驗證

通過如圖1實驗裝置，設計控制實驗變量，可以比較重錘在下落時的晃動對實驗的影響.

A組實驗使重錘在晃動中下落，測得的重力加速度值（見表1），重復5次，測得第1—5組重力加速度的值，填入設計好的表2中.

B組實驗使重錘從靜止開始下落，測得重力加速度的值，重復5次，測得第6—10組重力加速度的值，也填入設計好的表2中.

圖1

表1

再利用Excel軟件對測得的數據進行分析，畫出v-t圖像（如圖2），擬合得到重力加速度的值.

圖2

將10組數據總結在一個表格中（見表2），以北緯30°的重力加速度9.794m／s2為標準，分析各組重力加速度值的誤差.

表2

B組靜止下落 靜止1 靜止2 靜止3 靜止4 靜止5平均值實驗g值／m·s-2 9.3 8 2 9.8 3 7 9.7 8 4 9.5 7 0 9.5 3 1 9.6 2 0 8理論g值／m·s-2 9.7 9 4 9.7 9 4 9.7 9 4 9.7 9 4 9.7 9 4 9.7 9 4絕對誤差／m·s-2-0.4120.043-0.010-0.224-0.263-0.173

4 實驗分析與總結

實驗分析的結果讓人感到意外，從實驗數據看，晃動中下落的重錘的平均重力加速度值是9.776m／s2，晃動中下落的重錘的下落速度并沒有變慢，看來前面作出的“晃動的重錘下落慢”的假設是錯誤的.那么，這個實驗結果又能說明什么？

問題1：從表格的數據可以看到，“B組靜止下落1”的實驗結果與當地的標準重力加速度值相差較大，筆者找出該條紙帶，重新測量，發現第6個計數點的位置記錄有誤，第1次記錄的該點的位置是3 8.5 3c m，重新測量后結果應該是3 7.5 3c m，將新的數據填入表格中分析，如表3和表4，擬合得到的重力加速度值是9.6 0 5m／s2，如圖3，這樣的結果比較合理.在實驗的過程中，只是其中的一個位置數據多讀了1c m，但是對結果的影響還是比較大的.

圖3

表3

表4

記錄數據中的一個細小的偶然誤差，導致實驗的結果與標準值相差甚遠，這才是部分學生實驗結果與標準值相差較大的真正原因.所以，要求實驗者要細心觀察，細心記錄，嚴謹細致的實驗過程是實驗取得成功的基礎.

問題2：將修正后的數據填入表中，從修正后的結果看，實驗測得的數據A組重力加速度比B組大，就說明晃動的重錘下落的速度更快，這是為什么呢？筆者測得的A組數據的平均值很接近當地重力加速度的平均值，是否可以認為在做這個實驗時，使重錘晃動可以測得更準確的重力加速度值呢？

筆者認為可以用圖4所示的模型來解釋這種現象.如圖4所示，靜止下落的重錘其下落的軌跡是A B段豎直方向的直線.如果在下落前，重錘在晃動，放手的瞬間，重錘可能有初速度，則它的運動軌跡應該是一條拋物線.假設放手的瞬間，重錘有一個水平初速度，它的運動軌跡應該是一條平拋曲線（圖4中的曲線A C），可以把它的運動當成平拋運動來處理.

根據平拋運動的原理，其豎直方向的分運動為自由落體運動，與靜止下落的重錘相比，在相同的時間內，它們下落的高度相同.在實驗中，重錘從A運動到C，紙帶被拖出的長度為圖中A C段直線的長度，為直角三角形A B C的斜邊，A C段比A B段更長.

圖4

但是在實驗數據處理時，把平拋拉出來的紙帶當成自由落體運動的紙帶來處理，導致實驗得到的重力加速度值偏大.這樣也能夠解釋在前面A組實驗中有兩組實驗的數據比標準值還要大的現象.在晃動的過程中隨機下落的重錘，其下落時也可能沒有初速度，這樣的實驗結果應該與B組結果一樣，實際實驗得到的數據也是合理的.看來，貌似更接近標準值的A組數據未必是好的，而是錯誤實驗的結果.

由于摩擦，高中物理中用落體法測得的重力加速度值偏低1%-3%是正常的，不必過于追求接近標準值.

以上分析可知，高中物理中用落體法測得的重力加速度時，下落前應該使重錘處于靜止狀態.而手持的方式很難保證重錘不晃動，有兩種辦法解決這個問題.第1種方法，我們可以把紙帶用鐵架臺掛起來，以防止重錘晃動，如圖5所示.第2種方法，如圖6所示，在放手前上拉紙帶，讓重錘緊靠計時器，也可以防止重錘晃動，這種方法操作極為方便簡單，效果也不錯.

圖5

圖6