對滬科版教科書多普勒效應演示實驗的定量思考

田陽陽

(儀征市第二中學，江蘇 揚州 211400)

滬科版普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-4第2章機械波的第5節多普勒效應中，分別按照觀察者不動聲源運動和觀察者運動聲源不動兩種類別編排了2個演示實驗.現對這兩個演示實驗定量思考如下.

圖1

實驗1.將一個哨子系在約1.5m長的細繩一端，另一端系在手上，讓手臂晃動，使哨子在我們頭上旋轉.另一些人坐在凳子上，聆聽哨聲的音調變化情況.相互交換一次，親身體驗一下.(如圖1所示)

(1)坐在凳子上的學生聽到的哨聲音調的變化規律.

如圖2所示，設坐在凳子上的學生耳朵所在位置為B點，耳朵到哨子運動平面的距離h=1 m.哨子逆時針轉動，取哨子經過A位置為計時起點，經過時間t哨子轉動θ角運動到C點.設哨子發聲頻率f0=1000Hz，其圓周運動的速度為v，半徑為r=1.5m，周期T=1s，聲速vS=340 m/s.則由多普勒效應公式［1］可得坐在凳子上的學生聽到的頻率

其中α為v與CB之間的夾角.為計算需要我們在速度v的延長線上取一點D，使CD=r=1.5m，如圖2所示.

圖2

在△AOC中由余弦定理得

在△BAC中由勾股定理得

在△ACD中由余弦定理得

在△BAD中由勾股定理得

則在△BCD中由余弦定理得

將(7)式代入(1)式得

圖3

(2)演示者聽到的哨聲音調的變化規律［2］.

圖4

實驗2.兩位學生相隔一段距離(約10m)，一人手持小收音機播放音樂(或吹口哨)，另一人坐在秋千上來回擺動(如圖5所示)，經過圖中A、B、C、D、E 不同位置，體會一下音調是如何變化的.

如圖6所示，設秋千繩長L=10m，初始擺動位置OP與豎直方向OR夾φ=為簡單起見，設聲源(小收音機)處在半徑為L的圓周的M點，OM與OP夾

圖5

圖6

設坐在秋千上的人的質量為m，從靜止開始沿順時針運動，運動到與OP關于OR對稱的OT位置，然后沿逆時針方向再次運動至OP位置，完成一個周期的運動.

解得

由幾何關系易知

則由多普勒效應公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為

取 f0=1000Hz，聲速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(13)式得

圖7

解得

由幾何關系易知

則由多普勒效應公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為

取 f0=1000Hz，聲速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(18)式得

由Mathematica軟件可以畫出0≤θ≤π內f隨θ變化的函數圖像，如圖8所示，此為一個周期T內f隨θ變化的函數圖像.由圖像可見，θ=0時，f=f0=1000Hz(此時v人=0);在0＜θ≤內，f隨角度θ的增大先減小到最小值，然后逐漸增大，至θ=時增大到初始值f=f0=1000Hz(此時v人=0);然后隨θ的增大而繼續增加至最大值后又逐漸減小;至θ=π時，f=f0=1000Hz;此時坐在秋千上的人回到起始位置P，完成了一個周期的運動.

圖8

由Mathematica軟件可以求出當θ=0.64663rad(約為37°)時 f取最小值;當θ=2.49496rad(約為143°)時f取最大值.

從圖8很容易得到坐在秋千上的人經過圖中A、B、C、D、E不同位置時音調是如何變化的.

當人沿順時針方向經過 E、D、C、B、A時，從 E到 D，f逐漸減小，至DC之間某位置時達到最小值;然后從該位置經C到B再到A，f逐漸增大.

當人沿逆時針方向經過A、B、C、D、E時，從A到B再到C，f逐漸增大，至CD之間某位置時達到最大值;然后從該位置經D到E，f逐漸減小.

1 劉林.用多普勒聲納測量輪船的航速［J］.物理教學，2011(8):37.

2 田陽陽.對一個演示實驗的思考［J］.物理教學，2010(8):32.