數學實驗在高等數學教學中的應用

賈屹峰 鄭紅芬 王志高

【摘要】本文在實踐教學的基礎上，討論了在高等數學教學中引入數學實驗，改革課堂教學方法，探索新的教學模式，加強學生的實踐性教學環節，在激發學生學習興趣、提高成績的同時，培養學生的應用和創新能力.

【關鍵詞】高等數學;數學實驗;Mathematica

一、數學實驗的背景

隨著計算機的發展，用計算機進行代數運算的研究發展非常迅速，在20世紀80年代，相繼出現了功能齊全的計算機代數系統，例如Mathamatica、Maple、MathCAD、Axiom、Maxima等.計算機代數系統是集成化的計算機軟件系統，集成了一系列的軟件包，它主要包括：符號計算、數值計算和圖形三個方面功能.利用計算代數系統，許多復雜的推導和計算可以用計算機來完成，并且一些難以用手工作出的函數圖形也可以在計算機代數系統上畫出.

數學實驗是在計算機代數系統平臺上，利用所學的數學知識解決實際問題為目的，在計算機上完成的一種實踐活動，是計算機技術和數學、軟件引入教學后出現的新事物，是一種新的方法和技術.利用計算機代數系統的函數以及程序，借助計算機快速、準確、功能強的優點在計算機上完成復雜的數值計算、符號演算、幾何圖像等數學教學過程，從而達到對實際問題的求解、分析、模擬仿真和歸納總結.數學實驗不但需要扎實的數學功底和運用數學的能力，而且需要掌握數學建模以及運用計算機的能力，是綜合能力的一種體現.

數學實驗現在已經成為一門新的課程，很多大學都已經列為選修課或是必修課.借助計算機，在實驗中，讓學生自己設計和動手，在解決問題的過程體驗數學知識在實際中的應用，從而去學習探索和發現數學規律，既鞏固和提高數學的基礎知識，又建立起了基本數學知識與數學的應用以及其他學科之間的聯系.

二、高等數學課中引入數學實驗的必要性

高等數學是理工科學生在大學期間的一門必修課，它不但對培養學生的抽象思維和邏輯思維能力有著舉足輕重的作用，而且更是他們后續一些課程如大學物理、概率論以及一些專業課程的基礎，另外也是分析、解決實際問題的工具.但是高等數學高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，特別是高度的抽象性使得很多學生很難理解，并有畏難情緒;再加上傳統的“板書——分析——講解”，這種只注重灌輸知識，忽視動手能力、創新能力的培養教學模式，使學生感到很枯燥乏味，負擔沉重，結果導致許多學生對高等數學學習失去了信心和興趣，甚至放棄學習，進而對后續課程的學習也產生很大的影響，甚至影響到整個大學階段的學習，這一點也一直困擾著大學數學的教學.

隨著計算機代數的發展，大學數學中幾乎所有的推理和計算都可以在計算機的輔助下完成，所有函數的圖像都可以在計算機屏幕上顯示，特別是三維圖像，這些都對許多的大學數學課程的教學內容和教學手段產生了深刻的影響，特別是高等數學，并且產生了學習和數學應用的新途徑——數學實驗.利用計算機代數，在高等數學的課堂教學中引入數學實驗，有利于將抽象問題具體化，比較典型的就是極限的定義、空間解析幾何、多元函數以及重積分區域的選取等問題，使得學生更容易理解，從而改變傳統的教學模式，使得高等數學不再枯燥乏味，力圖改變學生“高等數學難學”的觀念，大幅度提高等數學課程的及格率.同時激發學生的學習興趣，提高學生學習數學的積極性，提高學生對數學的應用意識并培養學生用所學的數學知識和計算機技術去認識問題和解決實際問題的能力.

隨著計算機的迅速發展和普及，大部分學生都擁有了自己的計算機，數學實驗有了硬件的基礎.在課堂教學引入數學實驗的基礎上，也可以讓學生自己完成一些典型問題的實驗，通過學生自己設計實驗，完成實驗，并通過觀察總結規律，從中體驗數學知識的應用，激發他們“學數學和用數學”，并進一步“研究數學”的興趣.從而起到了促進數學教學良性循環的作用.

三、高等數學教學中的數學實驗梗概

在實際教學中，我們采用Mathematica計算機代數系統，它是美國Wolfram Research公司開發的，是一個功能完善而且強大的計算機代數系統，其交互式操作方式簡單易學.Mathematica突出的是其符號運算功能，能夠完成多項式的運算和因式分解可及求函數值，能求極限、導數、不定積分、定積分、冪級數展開及求解某些微分方程等，對于向量、矩陣的各種運算也可以勝任.Mathematica的繪圖能力也很強，可以很方便地畫出一元函數和二元函數在所需范圍內的平面圖像與三維圖形，并可以在同一坐標系內以不同的顏色顯示進行比較.Mathematica還可以進行自定義函數和進行編程，也使得其可以應用于各領域涉及的復雜的符號運算和數值計算問題.

Mathematica在高等數學教學中的應用主要有三個方面：數值計算與繪圖功能相結合，對一些抽象的知識，可以給學生直接的感受，從而使得學生更容易理解掌握抽象的知識;利用強大的繪圖，畫出一些難以手工畫出的函數的圖像，使得學生更容易理解相關的知識，特別是二元函數三維圖像，更能增加學生的空間想象能力;Mathematica可以直接求一些復雜的極限，復雜函數的導數、微分、偏導數、全微分、不定積分、定積分以及一些簡單的微分方程使得學生能夠從復雜的計算中解脫出來.

在講述數列的極限的定義時，首先利用Mathematica畫出了數列12n，1+（-1）nn，（-1）n的圖像，通過對三個數列變化趨勢的觀察，引入數列極限的概念;在此基礎上，利用數值計算算出數列前1000項，并進一步給出數列極限的定義，使得學生在高等數學第一個比較抽象的概念學習中有一個比較直觀的印象;在講述第二個重要的極限limn→∞1+1nn時，也同樣利用畫圖和數值計算，并結合該極限的一個應用實例：存款利率，使得學生對自然對數的基底e有著更為深刻的理解，并對以后研究函數y=ex的性質打下基礎.類似的，在講述定積分的定義的過程中也采用了數值計算與圖像相結合的方式.

利用Mathematica強大的繪圖功能，可以很方便地畫出很多手工不能畫出的圖形，并在屏幕上顯示出來，使得學生更容易理解相關知識.利用繪圖功能，使得學生在學習函數的連續性、間斷點、漸近線、微分的幾何意義、函數的單調性和凹凸性及拐點時，通過對相關圖形的顯示，加深了學生對相關知識的感性認識和直觀認識.例如對于震蕩間斷點，可以在屏幕上顯示函數f（x）=sin1x在區間[-1，1]的圖像，為了更進一步了解，還可以在同一坐標系顯示函數f（x）=xsin1x在區間[-1，1]的圖像.繪圖功能的另一個重要的應用就是二元函數的三維圖像，在增加學生空間想象力的同時，也有利于多元微積分的學習.

高等數學中的一些計算十分繁雜、枯燥，這些推導和計算都可以用Mathematica實現，Mathematica可以完成高等數學中的所有運算.Mathematica一個突出的特點是符號計算，并且可以編程，因此一些推導可以利用計算機完成.Mathematica的命令和函數是交互式的，且易學易記，運行也非常方便，能夠迅速得到結果.利用強大的符號計算功能，可以使學生不必再死記硬背很多的公式，減輕學生的負擔.

四、高等數學中引入數學實驗的意義

數學實驗引入高等數學教學中，改變原來的教學模式，豐富教學內容，活躍了課堂氣氛，激發了學生的學習興趣.利用數學實驗，從直觀的實驗中抽象出數學知識，使得學生對數學的抽象性感到困惑，利用強大的畫圖功能為學生提供了直觀的印象，利用強大計算功能使學生從繁雜的計算中解脫出來，更專注于對數學知識的理解.

數學實驗的引入，是輔助而不是替代，對掌握數學概念、方法有極大的幫助，不會影響數學知識的學習.利用計算機代數系統，也需要扎實的數學基礎.

數學實驗輔助高等數學教學，不但可以激發學生的學習興趣，更有利于培養學生的創新能力和利用所學數學知識解決實際問題的能力.

【參考文獻】

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