概率統計教學過程中如何有效地結合高等數學知識

程俊芳 楚彥軍

【摘要】 高等數學和概率統計都是高等院校的重要基礎課程， 這兩門課的學習效果直接影響著理、工、經、管等各專業后續課程的學習.而概率統計的學習過程中， 又要頻繁地用到高等數學的知識.本文結合自己多年的教學實踐， 通過認真的理論思考，就隨機變量及概率密度方面系統闡述了概率統計的教學過程中， 如何使學生能有效地結合所學的高等數學知識.

【關鍵詞】概率統計; 隨機變量; 概率密度函數; 分布函數

高等數學和概率統計都是高等院校理、工、經、管各專業重要的基礎課程，由于在概率統計的學習過程中要頻繁地用到高等數學的相關知識， 因此在我國目前幾門基礎數學課程的開設中， 大部分院校都是習慣于本科第一學年學習高等數學， 第一學年下學期或是第二學年上學期學習概率統計課程.我之前長期從事經管類學生的概率論與數理統計課程的教學工作， 發現經管類學生中一部分學生因為高中階段學的文科， 數學基礎一般， 更有一些同學對數學有著天生的恐懼， 再加上高等數學底子相對薄弱， 在學習概率統計過程中遇到了很大的障礙.近兩年， 我開始從事高等數學課程的教學工作， 更深切感受到學生學好高等數學， 以及如何把高等數學中學到的知識靈活運用到概率統計的學習當中， 成為學生學習概率統計必須要解決的問題.

概率論與數理統計的思維方式及解題套路和高等數學是不盡相同的， 但實際本質又是相同的.本文主要想探討一下在概率統計的教學過程中， 如何講解能使學生把高等數學中所學內容靈活運用到概率統計的學習中.一維和多維連續型隨機變量的研究是概率統計中非常重要的內容， 也是需要用到高等數學知識最多的地方.下面分別介紹一維和多維隨機變量如何有效地和高等數學相結合.

一、 一維連續型隨機變量及概率密度

在概率統計的各類教材中， 第一章一般都是古典概率， 這對高中階段學習過排列組合的同學容易理解和掌握.而從第二章開始學習一維隨機變量， 一維離散型隨機變量還是比較容易掌握的， 從開始學習一維連續型隨機變量及概率密度開始， 同學們遇到了概率統計的第一個障礙.對一維隨機變量的研究，一般會給出隨機變量X的概率密度函數，從而研究隨機變量的其他性質，我們很容易遇到如下一類題型：

例 已知連續型隨機變量X的概率密度為f（x）=Ax，0

0，其他，求：

（1）未知常數A;（2）X的分布函數F（x）.

這種題型是概率統計中最基本的一種題型，同學們在概率論中也很容易學到做這種題分別要用到概率統計中兩個常用的公式：

（1）∫+∞-∞f（x）dx=1;

（2）F（x）=PX≤x=∫x-∞f（x）dx.

這類題目本身利用這兩個公式，然后運用高等數學中定積分的知識即可得到解決，但是，主要的問題在于高等數學中的定積分一般會直接求∫baf（x）dx，求這個定積分只需要直接運用牛頓—萊布尼茨公式：

∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a），

其中F（x）為f（x）的一個原函數.然而在此類題中， 積分的積分區間似乎都不是確定的區間[a，b].如何正確地在這類題中用牛頓—萊布尼茨公式對初學的同學們來說就不是那么容易了.如何讓學生靈活應用呢？下面分別進行解釋.

（1）求常數A

根據公式∫+∞-∞f（x）dx=1 求密度函數中的未知常數，主要是需要讓同學們理解， 雖然密度函數性質是在整個數軸（-∞，+∞）上積分一定為1，但是我們所見到的概率密度函數很多情況下都是分段函數，所以此時主要得讓學生理解，要把密度函數在整個數軸上的積分根據定積分關于積分區間具有可加性， 轉化為密度函數在非零區間上的積分就可以了.如上述例子中先讓學生明白

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx，

而此題目中所給f（x）僅在區間（0，1）不是零，因此整個數軸上定積分

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx=∫10Axdx，

這樣化成定積分后，學生很容易就能求出未知常數A=2.

（2）求X的分布函數F（x）

根據連續型隨機變量的概率密度函數f（x）求分布函數F（x）， 是一個重點，對同學們來講也是難點.在這里， 最需要讓學生理解的問題仍然是關于積分區間的問題.由于F（x）=∫x-∞f（x）dx， 這個積分非常特殊，下限為-∞，上限為x， 正是積分區間給學生在計算分布函數F（x）時造成了很大的困擾.這里，我一般會把X的概率密度函數f（x）在數軸上先示意出來，由于f（x）在三個區間（-∞，0]，（0，1），[1，+∞）分成了三種情況，因此應該討論積分上限x分別落在三個區間的情況.

當x∈（-∞，0]時，由于f（x）≡0，則F（x）=∫x-∞f（x）dx=0;

當x∈（0，1）時，此時要強調積分區間仍然為（-∞，x]，由于f（x）僅在區間（0，1）不為零，因此必須讓學生理解（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，x]，根據積分區間的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫x0f（x）dx=0+∫x02xdx=x2;

當x∈[1，+∞），（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，1]∪（1，+∞），同樣由積分區間的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫x1f（x）dx=0+∫102xdx+0=1.

總之，在講解此類題中，主要是讓學生明白幾點，首先是F（x）=∫x-∞f（x）dx，不論上限x取什么值，但積分區間始終是（-∞，x]，但在真正計算的過程中，要根據被積函數即概率密度函數f（x）在不同子區間的表達式不同，把區間（-∞，x]根據x的取值范圍，分成不同的子區間進行計算.學生只要理解此處，那么不管密度函數f（x）如何變形，分成幾段，求分布函數F（x）的問題均都迎刃而解.

二、 多維隨機變量

在多維隨機變量的教學過程中，不免要用到二重積分的知識，如何確定積分區域，仍然是學生很難掌握的一個知識點.比如，對于二維連續型隨機變量（X，Y），如果已知其聯合概率密度f（x，y）=φ（x，y），（X，Y）∈D，

0，其他， 其中φ（x，y）≠0， 若求概率P（X，Y）∈G，需要運用公式P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy.

對于這個概率的計算，學生很容易錯誤寫成

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=Gφ（x，y）dxdy.

這時候直接計算φ（x，y）在區域G上的二重積分就不對了，正確的做法應該是

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy，

然后計算φ（x，y）在區域G∩D上的二重積分就可以了，在歷年的教學過程中，發現學生很難理解題目本身是計算隨機變量（X，Y）落在區域G上的概率，而最后是在區域G∩D上計算二重積分.根據個人的課堂實踐，要讓學生明白這個問題，可以先從一維隨機變量說起，比如我們前面那個例子，已知X的概率密度函數f（x）=2x，0

0，其他， 若計算概率P-0.5≤X≤0.5，由于當x∈（-0.5，0）時， 密度函數f（x）=0，因此P-0.5≤X≤0.5=∫0-0.50dx+∫0.502xdx=0.25.

如果理解了一維隨機變量計算概率，對于現在的二維隨機變量

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy+G＼D0dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy

也就不難理解了.

當然， 除了上述所提到的地方， 概率統計的教學過程中還有很多地方需要注重和高等數學的有效結合， 本文僅僅是希望在高等數學的教學過程中可以事先給學生介紹概率統計中可能要用到的知識， 在概率統計的教學過程中，也不能想當然地認為學生學過高等數學了，那么用到高等數學知識的時候， 學生一定理解.在概率統計教學中如何講解能讓學生靈活地運用高等數學的知識，是本文的主要目的， 也是在今后教學過程中我們需要研究的一個課題.

【參考文獻】

[1]盛驟， 謝式千， 潘承毅.概率論與數理統計[M].高等教育出版社，2009.

[2]吳贛昌.概率論與數理統計[M].中國人民大學出版社，2008.

[3]沈曉婧，周介南.概率論與數理統計課程改革的創新機制[J].高等數學研究， 2011年1月，第14卷第1期，114-116.

[4]姚敏.關于大學概率統計課程教學改革的幾點思考[J].吉林省教育學院學報，2011年第8期，第27卷，153-154.