例談高中數學“有效數學活動”的構建

熊春華

【摘要】基本數學活動經驗是我國義務階段教育在原來“二基”目標的基礎上提出“四基”目標的一個基本目標.學生數學活動經驗的獲得離不開數學活動參與，高中數學課堂應該是活動的課堂，加強學生的活動意識是數學教學的核心問題.然而，一些高中教師在組織數學活動的過程中，缺少對數學活動有效性的把握，導致其重要目標——數學活動經驗無法實現.

【關鍵詞】數學活動參與;活動意識;數學活動有效性

筆者通過對高中數學教師公開課觀摩，發現高中數學教學中數學活動存在以下問題：一是教師精心設計的數學活動得不到學生的積極響應;二是數學具有濃厚的功利色彩，課堂教學只側重于顯性的知識與技能，忽視過程性知識的生成，三維目標達成不夠全面;三是缺少數學活動的整體性、有機性.基于此，筆者就有效的數學活動實施策略談一談個人看法.

一方面，數學活動是圍繞數學問題開展的活動，學生是教學活動的主體，只有學生積極投入才能避免出現“被動參與”.另一方面，高中數學課程設立“數學探究”“數學建模”等學習活動，為學生積極參與創造了有利的條件，進而激發學生的數學學習興趣，在知識掌握的過程中，培養學生掌握獲取知識的思想方法以及幫助學生養成獨立思考、積極探索的習慣.因此，筆者認為，高中數學活動的實施應從注重思維參與、彰顯思想方法、突出同化演繹、加強反饋評價四個方面來加以落實.下面，筆者將就這四個方面結合教學案例加以剖析.

1.課堂活動注重思維參與

學生參與數學活動能夠培養學生的自主意識、合作意識.沒有學生積極投身思考的數學活動是無效的，沒有學生積極參與的數學活動是低效的.教師在活動過程中應該創設良好的人際關系和學習氛圍，激發學生的參與意識，努力提高學生的參與質量.這種活動參與應該從激發學生的學習動機出發、構建良好的師生關系、形成高效的活動評價三個方面來調動學生的主觀參與.

案例1 “對數函數”活動片段

《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”它說明一尺的棰子是有限的物體卻可以無限地分割下去.下面大家結合莊子的這句話思考如下問題：

問題1 一尺之棰，日取其半，取五次還剩多長呢？

師：不妨設有一尺長的棰子，每天取它的一半，五次之后剩下的那部分還有多長呢？可以先看看第一次剩下的那部分有多長，再看第二次……

生1：結合已經學習過的指數函數的模型，容易得剩下的長度為125=132.

問題2 取多少次以后還剩0.125尺？

生2：設x次以后還剩0.125尺，列方程有12x=0.125=18.經過代入x=1，2，3發現x=3方程成立.

師：非常好！用設未知量的方法建立等式方程，是我們解決未知函數應用問題的一般方法.解12x=0.125=18時利用特殊值的方法也能夠求出來.但有些時候我們用特殊值卻不方便.

問題3 取多少次以后剩下的長度剛好小于1100尺呢？

生3：12x-1≥1100且12x≥1100，但不知道該怎么求解.

師：嗯，很好，那這節課我就教大家如何解12x≥1100.

本節活動能夠做到貼近學生的“最近發展區”，學生對于問題3，口欲言而不能，把學生置于“憤”“悱”境地，學生思維活動被充分地調動起來.指數函數教學位于對數函數教學之前，起到了前后呼應的效果.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”讓抽象的數學語言變得具體，更貼近生活實際，為學生數學探究營造了良好的數學氛圍.教師在活動中多以鼓勵為主，注意合適引導加上及時鼓勵，能夠增強學生參與的積極性，樹立參與活動的自信心.

2.知識形成彰顯思想方法

數學活動既是一個肢體上的活動，也是思維上的活動，活動的過程必須體現數學的思想方法.缺少了數學思想的活動，數學活動就沒有了“靈魂”，對學生的數學經驗的獲取無法產生深刻的影響.因而，數學活動的有效體現在活動過程中經歷了數學思想方法的認識與理解.

案例2 “二項式定理”活動片段

我們知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那么將（a+b）3，（a+b）4，…，（a+b）n展開后，結果是多少？

探究1：從特殊入手，推導（a+b）3展開式，學生順利給出（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.教師引導學生把每一項及其對應的系數表達出來，每一項的字母的指數和展開式的冪存在什么關系？每一項系數用組合數可以如何表示？

（a+b）3展開式中的項

a3

a2b

ab2

b3

各項的系數

1

3

3

1

每一項的系數

C03

C13

C23

C33

展開式中的項由學生歸納：a3-rbr，r∈0，1，2，3;每一項的系數歸納：Cr3.容易寫出其展開式：（a+b）3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

探究2：用（a+b）3展開式的表達形式，寫出（a+b）4展開式.教師啟發學生觀察上述等式，尋找其項數、各項次數及展開式中各項系數的特點.

探究3：猜想（a+b）n （n∈N）展開式，并加以驗證.

探究1屬于引導學生積極參與的過程，具有知識學習的針對性，探究2與探究3在原來的基礎上分別提升活動的難度，這種分層次學習讓學生經歷數學思想建構過程.如果讓學生直接思考（a+b）n展開式，就大大增加了教學的難度.以上數學活動師生共同探究，讓學生在歸納和猜想中培養抽象概括能力，二項式定理的形成過程中體現了從特殊到一般的思想.它使得學生在掌握知識的過程中獲得能力，從而為學生提供解決問題的一般方法.數學活動的目標實現應該體現了簡單到復雜的原則，學生在數學活動的過程中不僅要學習數學知識和技能，還要掌握科學的數學思想方法.

3.概念獲得突出同化演繹

數學認知結構是一個不斷變化的動態組織.隨著數學認知活動的進行，學生的認知結構不斷分化和重組，并逐漸地變得更加精確和完善.正是數學認知存在了這樣的特性，教師在數學活動中應充分利用學生已經學習的數學知識，建立與新知識之間的關系.對于數學概念性知識的學習突顯同化演繹的過程，利用新舊知識的共性以及認知沖突，在活動的過程中讓學生自主建構數學概念.

案例3 “復數的概念及定義”活動片段

問題1 在實數范圍內，求方程10x-x2=21的解.

大部分學生利用求根公式的方法，很快能夠求出方程的解.少數學生利用十字交叉相乘的方法也能夠求出方程的解.

問題2 解方程10x-x2=40.

按照已經存在于自己解題習慣的思路，大部分學生通過檢驗“Δ”的方法發現Δ=-15<0，判斷方程無解.一部分學生由于提前預習了教材，認為此方程的根是x=5±-15.

問題3 在正整數范圍內，方程x+2=0有解嗎？類似地，在有理數范圍內，x2=2有解嗎？我們又讓它怎樣有解？

生1：在正整數范圍內方程x+2=0是沒有解的，在整數范圍內有解，且解為x=2;在有理數范圍內，x2=2也是沒有解的，在實數范圍內有解，且解為x=2.

師：正整數與整數之間的集合關系是怎樣的？有理數與實數之間的集合關系又是怎樣的呢？

生2：正整數是整數的子集，整數包含正整數、負整數和零;有理數是實數的子集，實數包含有理數和無理數.

問題4 x（10-x）=40在實數域無解，根據以上經驗將實數域也進行擴充，方程在新的定義域有解.要使得方程有解為x=5±-15，需要滿足什么條件呢？

生3：要滿足-1有意義，事實上x=5±15-1.

師：非常好！這節課我們就是在特殊數域內解決-1有意義的問題，也就是我們今天要學習的復數域.

發現問題、解決問題是實現學生數學能力提高的基本步驟.問題1與問題2屬于同一條件、不同問題同化演繹過程，這種知識層面的沖突能夠刺激學生的活動激情.問題3與問題4都體現了數系的擴充過程，也體現了概念學習的同化演繹過程.這種知識的不斷過渡，能夠引導學生從已知的學習沖突中發現和認識問題，（x-5）2=-15要有解必須滿足-15能夠開方，也即是任意的負數可以開方，由此就必須在實數域的基礎上學習復數的基本概念.

4.克服難點依賴反饋評價

數學活動經驗的獲得是檢驗數學活動成功的重要表現.曹才翰和蔡金法認為“要讓學生自己總結數學活動經驗比較難，所以作為學生學習指導的教師應當幫助學生總結數學活動經驗，使他們能夠快速、直接地掌握數學活動技能”，也就是說數學活動效果有待于教師在活動的過程中適時地加以診斷和評價，進而給出有目的性、有針對性的反饋.提醒學生充分地重視本節課所應掌握的活動經驗，讓學生進行總結，進而反思.

案例4 “圓的標準方程”反饋活動片段

問題1 綜合平面幾何的知識，從方程的角度探究：過點A（1，0）能確定圓嗎？為什么？

生1：不能，從幾何知識可知，過平面內的一點可以畫出無數個圓.

生2：不能，圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=R2，存在a，b，R三個未知量，將A（1，0）代入標準方程只能得到一個方程.求三個未知量應該建立三個方程才有唯一解，因此，過一點A（1，0）不能確定圓.

問題2 過點A（1，0），B（3，0）能確定圓嗎？為什么？

生3：不能，因為將這兩點代入圓的標準方程只能得到兩個方程，方程中存在三個未知量，兩個方程組不能算出方程的唯一解.

問題3 在問題2中增加什么條件可以確定一個圓？試寫出增加的條件，并說明解題的思路.

生4：已知圓上不同于A（1，0），B（3，0）的另一點，可以分別代入圓的標準方程得到三個方程，解出a，b，R.

生5：已知圓的半徑，將A（1，0），B（3，0）代入圓的標準方程，求出a，b.

生6：存在一條已知直線與該圓相切，利用圓心（a，b）到該直線的最短距離d等于半徑R.

“圓的標準方程”教學重點就是讓學生會寫圓的標準方程以及確定一個圓的標準方程的三要素，教學難點是求圓的標準方程條件確定.設計這樣的數學反饋活動，對于糾正學生的學習誤區、鞏固難點是十分必要的.借助這幾個問題既要檢驗學生在活動的過程中是否理解確定圓的方程需要哪些要素，又要以開放的角度養成學生探究性學習的經驗.這種活動的反饋，對于經驗的總結、錯誤經驗的診斷起到了良好的作用.

促進學生的全面發展是數學活動的重要目標，數學活動不應該只是停留在表面“活動”.從現階段數學課堂教學重點建設課程引入、教學重難點、數學思想方法、課后反思等幾個方面來看，只有在活動參與的過程中積極引導學生思維參與、思想方法上的進步，多利用同化演繹的理論來學習數學概念，最終才能讓學生成為活動的主人，在反饋和評價中形成數學能力，實現數學活動的有效性.

【參考文獻】

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