演繹“長河落日圓”之意蘊 呈現數學教學之精彩

潘炎

《義務教育課程標準（2011年版）》指出：“教材中學習素材的選擇，圖片、情景、實例與活動欄目等的設置，拓展內容的編寫，以及其他課程資源的利用，都應當與所安排的數學內容有實質性聯系，有利于提高學生對數學實質的理解，有利于提高學生對所學內容的興趣.”其中之義，要求數學教學必須“以學生為主體”，根據學生的認知力和興趣點，實現對課程資源的有效整合，以提升學生的數學分析能力和文化涵養.本文以“直線與圓的位置關系”為例，通過融入人文意蘊，呈現數學教學之精彩.

一、本節課的設計理念

“大漠孤煙直，長河落日圓.”是唐朝邊塞詩人王維對于黃河落日之“殘紅之美”的意境寫照，然此種“落日之美”僅應用于語文對學生人文美感的化育略顯可惜，毋庸置疑，“直線與圓的位置關系”的數學教學與“落日之美”適用性和匹配度極高，并對學生理解“直線與圓的位置關系”帶來“正能量”.

在“直線與圓的位置關系”學習之前，學生對于平面幾何的一些與圓相關的知識已經有所掌握，比如直線與圓的知識、圓錐曲線的知識等等，通過對這些知識的認知，學生已經能夠解答一些基本的題型，對于平面幾何中一些常用的解題方法也比較熟練.但基于初中生的記憶力角度來看，可能有些已經淡忘，特別是哪些比較難理解的內容更是模糊不清了.

本設計在對本堂課教學內容進行深入分析的基礎上，對內容的本質與聯系進行了較深的研究，同時又考慮到學生接受能力、思維發展的狀況以及學生的知識基礎，力求在教學過程中做到通俗易懂、自然流暢、快樂學習的效果.在教學的方法上，做到自主“探究式”教學，引導學生去發現問題、理解問題、解決問題，加強與學生之間的交流，通過現代多媒體技術，運用講解、演示等方式來完成，在此過程中強調“教需得法”的理念，力求靈活變化.在教學目標上，注重基本的解題方法與解題基本規律的總結，以突出解析思想為主，融知識與技能、過程與方法、情感與體驗為一體，力求多元價值取向.

為引起學生的好奇心，激活學生的學習興趣，通過再現語文課本中《使至塞上》這首詩對于落日的描寫，并讓學生欣賞圖片，讓學生通過回憶、看圖、分析，從而找出從圓心到切線的距離和圓的半徑之間的關系，從而認識直線與圓的位置關系.此外，通過展現直線與圓的幾種不同的位置關系，讓學生感受運動變化的直線與圓的位置關系，培養學生運動辯證的觀點.通過這些過程的呈現，學生對于直線與圓的位置關系就會得到強化和加深，有的學生甚至會把它轉化到代數方程的內容之中，培養學生借助直觀解決抽象問題的能力，也就是由數到形、由形到數、由直觀到抽象、由抽象到直觀的轉化能力.

二、教學片段重現

通過回顧王維的《使至塞上》這首詩來創設一種與圓有關的意境，以此來達到激發學生興趣的目的，通過教師與學生之間、學生與學生之間討論，得出直線與圓的三種位置關系，即相離、相切、相交.通過一些簡單的練習使學生對直線與圓的三種關系加深認識，再通過典型例題的分析，使學生的能力進一步加深，而后是課堂練習的環節，使學生學會舉一反三，知識得到升華，最后是教師與學生共同歸納的環節，讓學生體驗本堂課給自己的愉悅感、成功感.

（一）問題情境導入

設計意圖：體現“以學生為中心”的教學理念，樹立起學生學習的自信心和主動性.在講正式內容之前采用問題情境導入法，不僅加深學生的印象，還激發學生的熱情.

為了激發學生的好奇心，提高學生學習的熱情，本堂課將圍繞主題引用學生非常熟悉的王維的《使至塞上》里面的“大漠孤煙直，長河落日圓”作為情景導入，并讓學生欣賞圖片.具體過程如下：

師：同學們，大家還記得唐代詩人王維的《使至塞上》這首詩嗎？里面有一句名句：大漠孤煙直……

生：長河落日圓.

師：很好！大家能不能簡單地描繪一下“長河落日圓”的畫面呢？

生：太陽在河面上緩緩落下.

師：這幅畫便是“長河落日圓”的寫照，給我們展現了黃河映襯著落日的殘紅之美.

師：在數學中，我們可以把遠處橫臥的長河視為一條……

生：直線.

師：臨近河面逐漸下沉的一輪落日可以被看作是一個……

生：圓.

師：那么，當落日逐漸下落的時候，這個“圓”與“直線”的交點的個數會出現幾種不同的情形呢？

生：有3種.

師：分別是怎樣的3種？能畫出草圖嗎？

圖 1 圖 2 圖 3

（二）揭示課題——直線與圓的位置關系

問題：在前面課堂的學習中，我們已經掌握了關于直線的方程和圓的方程，那當我們講到直線與圓的位置關系時，能否也用方程來表示呢？如果可以的話，又該如何表示呢？

設計意圖：從已有的知識經驗出發，建立新舊知識之間的聯系，構建學生學習的最近發展區，不斷加深對問題的理解.

（三）直線與圓的位置關系的判斷

問題：方法一是用平面幾何知識判斷直線與圓的位置關系，你能根據直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系嗎？

設計意圖：引導學生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關系，體驗坐標法的思想方法.

問題：這是利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判斷直線與圓的位置關系.請問用這種方法的一般步驟如何？

設計意圖：對判斷直線與圓的位置關系步驟進行小結，對知識進行梳理，使學生有“操作規范”，培養歸納能力，同時也滲透了算法思想.

三、教學的思考與感悟

（一）轉變觀念，培養學生的“參與意識”

數學家畢達哥拉斯曾經說過：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”“知道什么”指的是知識的含量，而“怎么知道什么”指的是獲得知識的方法，眾所周知，知識是不斷地更新的，然獲得知識的方法卻能在知識更新的過程中發揮重要效能.實際上，通過何種教學方法來推動學生獲取知識，并實現“舉一反三”正是數學教學的核心所在.本堂課正是從系統論的角度著手，建立起人文知識與數學知識的邏輯聯系，讓學生在已有知識的儲備下，更容易理解“直線與圓的位置關系”.首先在導入環節讓學生感受“大漠孤煙直，長河落日圓”的人文意境，為學生了解直線與圓相切、相交、相離的幾種關系從語文角度進行引入.其次是開展探究性教學，從學生的最近發展區出發，通過問題的設置，讓學生層層深入地探究直線與圓的位置關系.最后是堅持以學生為主體，對本堂課的教學目標比較明確，采用“以學生為主體”的教學理念，對教學活動的過程進行了精心的設計.在教學過程中，實現了教師與學生之間的互動交流，充分挖掘學生的潛力，充分運用現代多媒體技術，提高學生課堂參與度，提升了教學效果.

（二）靈光閃現，激活學生的“探究意識”

康托爾說過：“數學的本質在于它的自由.”開展有益的課堂探究是實現數學自由的外在表現，本堂課在教學設計中充分表達了探究性教學的理念，讓學生能夠“伸一伸手”“動一動腦”便能獲取知識.比如，在探究“直線與圓之間的位置關系”時，教師讓學生根據落日之美的意境畫出來，這時學生便可以從平時對落日的觀察中，了解相交、相離、相切這三種關系.蘇霍姆林斯基說過：“真正的教育智慧在于教師保護學生的表現力和創造力，經常激發他們體驗學習快樂的愿望.”在教師所營造的探究性教學氛圍下，學生的表現力和創造力得到了顯示的機會，畫出了草圖，建構起新舊知識的關系.

《新課標（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律.”本堂課的教學設計正是切合了這一點，從學生的原有知識結構出發，從“學生已經知道了什么”這一影響教學的最重要因素出發，并以此來開展教學，避免了以往課堂教學“僵尸化”“刻板化”，并從系統論的角度，重構課堂，給學生以新鮮的學習體驗，實現快樂教學、快樂學習，進而提升教學的效果.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]余莉，陳志華.“以學定教”的教學課例與評析——以“直線與圓的位置關系”為例[J].數學學習與研究，2013（4）.

[3]楊曉彬， 王磊.基于系統思維下的課堂教學再塑——“探索三角形相似的條件”教學設計的重組與反思[J].中學數學（初中版），2014（2）.