“直線的兩點式方程”教材研讀

李亮

1.問題提出

數學人教版A版必修2第3.2.2節繼“直線點斜式方程”后介紹了“直線的兩點式方程”.筆者在課上介紹完直線的兩點式方程及講完例題后，在課堂訓練環節，已知兩點坐標要求學生用兩點式求直線方程時，很多學生不太習慣直接用直線的兩點式方程求解，倒是習慣用上節課講過的直線方程的點斜式求解.問其原因，學生回答說：其一，直線的兩點式方程的推導就是用點斜式推出的，初中求一次函數解析式就用形如y=kx+b待定系數法求解，形式上比較熟悉.其二，直線的兩點式方程結構復雜，限制條件較多，不易記住.學生的回答讓筆者一驚，覺得頗有道理.從筆者平時解題習慣來看也很少使用直線的兩點式方程.在講直線與圓及直線與圓錐曲線的位置關系時，設列方程一般只考慮斜率存在與否設點斜式方程.求解直線方程的題目在最后答案呈現時，一般是用一般式或點斜式.求點到直線的距離、線性規劃問題所涉及的直線也很少用直線的兩點式方程.既然如此，教材為什么要單獨用一節介紹直線的兩點式方程？可不可以對該部分內容淡化處理，甚至不教？新課程標準不是提倡“用教材教”，而不是死板地“教教材”嗎？如果能，那么教材為什么把直線的兩點式方程單獨成節呢？編者的意圖在哪里？直線的兩點式方程在直線方程的知識體系中起到怎樣的承上啟下的作用？其教育功能在哪里？

2.教材研讀

人教版A版數學必修2第3.2.2節.先提出思考問題：已知兩點P1（x1，y1）， P2（x1，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），如何求出兩點的直線方程呢？由于有直線的點斜式方程做了知識鋪墊，學生不難寫出P1P2的方程：y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）（1）式.去分母化為整式，整理成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）（2）式.考慮到對稱美，便于記憶，兩邊同除以y2-y1得y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（3）式.把（3）式叫作直線的兩點式方程.當然（3）式是有條件x1≠x2，y1≠y2限制的.從直線的兩點式方程推證過程來看，它起到了承上啟下的作用，保持了知識的完整性和系統性.在思想與方法層面上對培養學生分析問題和解決問題的能力起促進作用.當直線的斜率不存在時，即不滿足x1≠x2，y1≠y2這一限制條件時，直線的兩點式方程可以寫成（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1），向直線方程一般式過渡，也為下一節知識“直線的一般式方程”學習做好鋪墊.又由于兩點式方程在結構上具有一種對稱美，也可以看成一個比例關系式.如果令y-y1y2-y1=x-x1x2-x1=t，那么可以得到直線的參數方程.這將為學習人教版數學4-4“直線的參數方程”埋下伏筆.這也是其他形式的直線方程無法取代的.

通過對教材的分析研讀，對直線的兩點式方程有新的認識.認真領會編者對教材的編寫意圖.教師不能只停留在解題層面上認為：直線的方程這一節知識以點斜式為起點再衍生出另外幾種形式（斜截式、兩點式、截距式）的淺顯認知.“兩點確定一條直線”是我們生活經驗的最樸素的認知，初中平面幾何以公理的形式呈現.到了高中從方程的角度再一次認知“兩點確定一條直線”這一樸素的數學知識，擴大了學生的視野，增強知識的系統性.這也符合新課標中關于直線與方程的具體要求：根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式.由此不難發現教材編者的意圖所在.

3.應用舉例

教材3.3.3節“點到直線的距離公式”例6：已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積.本題由于給了三點的坐標，可以求出AB=22，利用直線方程的兩點式求AB所在的方程：y-31-3=x-13-1，即x+y-4=0.那么C（-1，0）到直線AB的距離h=522為AB邊上的高，從而求出面積S=5.本例中在設AB方程時就是用了兩點式.這難道是編者給我們的一種示范還是另有暗示呢？如果把上述問題一個點定在坐標原點，其余兩點坐標字母化，再求三角形面積問題便可以發現把直線設成兩點式方程在計算上的便捷.

例：設直線A（x1，y1）， B（x2，y2）， C（0，0），求△ABC的面積.設直線方程為y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，化為一般式：（y2-y1）x-（x2-x1）y+（x2y1-x1y2）=0，那么C（0，0）到直線AB的距離d=x1y2-x2y1（x1-x2）2+（y1-y2）2.上述公式的分母即為線段AB的長度，進一步變形d（x1-x2）2+（y1-y2）2=|x1y2-x2y1|.兩邊同乘12，得12d（x1-x2）2+（y1-y2）2=12x1y2-x2y1.左邊恰好是△ABC的面積.即S△ABC=12x1y2-x2y1，這便得到一個有一頂點在原點的三角形的面積公式.這一結論的生成巧妙地體現了“直線的兩點式方程”結構對稱美的應用.由幾何意義自然得到了三角形的面積表達式使學生體會到直線方程的統一.在多次高考中曾出現有關面積的問題，如2005年福建數學理科第21題、2009年陜西數學理科第21題、2003年山東數學文科第22題等.上述面積公式在解決高考題中可以起到至關重要的作用.當然上述面積公式在教材沒有出現，需要證明才能使用，而證明過程中巧設“直線的兩點式方程”并巧妙地應用式子的結構特征給解題帶來希望.通過對高考試題的分析，就不難理解教材3.3.3節“點到直線的距離公式”例6在設直線方程時設成“兩點式”而不是“點斜式”，目的就是凸顯“直線的兩點式方程”在解題中的應用.