悖論的數學教育功能

趙建紅

【摘要】通過日常教學經驗，總結了數學悖論的幾種教育功能.巧用悖論進行教學提高了學生解決數學問題的能力， 也有助于數學教育目標的實現.

【關鍵詞】悖論;數學;教育過程;教育功能

“數學=計算+證明”，學數學只要會做題就行了，這是當今社會許多人所普遍認為的觀點.然而真正的數學是對現實世界的一種思考、描述、刻畫、解釋、理解，其目的是發現數學中所蘊藏的一些數與形的規律，為社會進步與人類發展服務.我們可以自由探索數學世界，正是這種自由探索才是數學美的體現.筆者認為，數學學習應該是一種廣泛的思維空間和實踐空間的元認知體驗過程，是學生可以用心體悟的生動有趣的學習活動.因此，在數學教學中適當應用悖論這一特殊工具將使我們更容易達到我們的教育目的.

悖論也叫逆論、反論，其意義較豐富.它是一種看起來好像是錯的，但實際上卻是對的，或者看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了的論斷，是一系列看起來好像無懈可擊的推理，可卻導致邏輯上的自相矛盾.

數學悖論的教育是元認知的體驗過程.元認知的體驗過程是伴隨并從屬于智力活動的有意識的認知體驗或情感體驗.而體驗一般是沒有明確編碼，甚至難以編碼的信息，近似于通常所說的感覺、意會.心理圖像隱約的類似、朦朧的情境、難以明言的預期等都是元認知的體驗.下面就談談數學悖論的幾種教育功能.

1.有利于培養學生學習數學的興趣

在數學教學中合理利用數學悖論有利于培養學生學習數學的興趣.如在教學分母不能為零時，學生大多不好理解為什么分母不能為零，分母為零則分數無意義.此時恰當引入相應悖論，激發學生對數學學習的興趣.還有不等式兩邊乘以負數要變號，悖論1元錢哪兒去了，如何證明悖論“-1=1”等許多例子都能引發學生去思考，從而增強了學生的解題能力，使學生注意到解分式時分母不能為零，不等式兩邊乘以負數要變號等.學生在解題過程中，不容易出現這樣那樣的問題，使學生能夠解許多關于這方面的題，讓學生享受到解數學題的快樂，從思考問題中感受到學習成功的喜悅，從而培養學生勤于思考、善于思考的習慣.

2.有利于提高學生數學學習的能力

數學知識的學習過程不僅是對所學材料的識別、加工和理解的認知過程，而且也是一個對學習活動自我調節和自我監控的元認知的體驗過程.這當然在很大程度上取決于學習者的元認知水平.如怎樣利用“加一減一”來解決生活中的實際問題？如何分牛？怎樣證明“0與i大小？”等問題.從實踐中發現數學學習成績優異與數學學習成績欠佳的學生在元認知方面有著明顯的差異.善于解題的學生對問題有比較自覺的思維意識和良好的思維習慣，他們十分重視審題，仔細分析已知條件和要達到的目標，他們在探求思路時，對數學問題的性質、特點和難度，以及解題的基本思路和前景作出大致的選擇、判斷和估計，在解題過程中，密切關注解題過程，隨時對解題的方法和結果進行評價，及時控制調節自己的思維航道.而不善于解題的學生在這些方面有明顯的差距.

這些在數學悖論認知水平上表現出來的差別，也正是學生之間善于學習和不善于學習的差別.因此，培養學生數學悖論認知能力是使學生學會學習，提高學習效率，發展數學學習能力的有效途徑.

3.有利于優化學生的思維品質

在人的思維活動中，無論是目標的確定和修正，材料的選擇與組織，操作加工策略的采用與改變，產品結果的檢查與信息反饋，都需要監控系統綜合各方面的信息，進行分析判斷作出決策，發出協調作用，它的發展水平直接影響思維水平的深層結構，思維品質的形成直接受控于元認知這個深層結構的影響.

在學習中，由于學生元認知水平存在差異，因而對數學學習活動的目標、任務的意識和領悟程度就很不一樣，各人所具備的策略數量、策略水平，選擇相應的策略的自覺性、靈活性，以及選擇最佳策略的能力也很不一樣.

在這樣的意義上，對數學悖論的認知能力的培養和訓練是提高思維品質的關鍵所在.在教育中應當十分關注學生認知能力的培養與提高，從而促進學生知識和技能水平的提高，促進學生思維水平的提高.

4.有利于發揮學生的主體作用

所謂主體能量是任何心理活動.心理發展都需要的心理能量，就像機器運轉所需要的能源一樣.美國教育學家加羅拂指出：如果我們希望學生成為主動學習者和行動者，那么我們必須設計好數學使之有助于發展學生的元認知，培養學生隨時監控自己的學習過程，可以使學生對自己正在干什么和為什么這樣干有著清醒的自我認識.在此過程中，學生觀念上的平衡狀態不斷受到破壞，這種新的不平衡激發于學生內部新的心理能量，使學生積極主動地尋找新的更高水平的平衡，這就需要學生主動去調整計劃、目標、檢驗結果，從而大大提高學生學習的主動性、積極性、自主性和創造性.

5.促使學生的學習向更自覺的狀態轉變

這樣的元認知活動能使學生對已有的概念和命題的認知更加清晰，加強了知識之間的聯系性，使已有知識獲得新的意義.又如，在解題實踐中提高元認知活動可以逐步體會到，要解決一個較為抽象的數學問題，如果直接去解有困難，不妨先用特例去探索解決，然后再將解決問題的思路推廣到一般情形，這樣問題往往迎刃而解.

學習活動不僅是對所學材料的識別、加工、理解，而且包括對認知過程的自我監控和調節，甚至包括對學習興趣、態度、動機水平的注意程度，情緒狀態等非智力因素的調控，從而使它們協調一致地有效地推動學習活動，這就為數學教學指出一個新的努力方向，即通過對學生元認知能力的培養，使學生的數學活動向著高度自覺的狀態轉變.

基于以上幾點“悖論”的數學教育功能，筆者認為，如能將悖論恰當地運用于數學教學實踐，將有助于現行教育改革，有助于學生更加深入地理解和學習數學，也有助于數學教育目標的實現.