貝努利微分方程的解法

常軍

【摘要】介紹兩種求貝努利微分方程的方法，并借助實例說明其應用.

【關鍵詞】貝努利微分方程; 待定函數法;微分法

一般地將形如

dydx+P（x）y=Q（X）yn （n=0，1）（1）

的微分方程叫作貝努利（Bernoulli）微分方程.因貝努利微分方程在科學計算方面有著非常廣泛的應用.因此，對求解貝努利微分方程的通解的研究有著十分重要的意義，一般教材上常用的解法是通過變量代換y1-n=z將貝努利微分方程化為一階線性非齊次微分方程，從而求出貝努利微分方程的通解.本文以

dydx-yx=（1+lnx）y3（2）

為例介紹兩種解貝努利微分方程的方法.

方法1：待定函數法

設y=u（x）v（x）是（1）的通解.

于是 u′v+v′+p（x）vu=Q（x）unvn.（3）

令v′+p（x）v=0，

則有v=e-∫p（x）dx，

u′=Q（x）une（1-n）∫p（x）dx.（4）

將（4）分離變量并積分得

u1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C

因此方程（1）的通解為

y1-n=u1-nv1-n

=[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]e（n-1）∫p（x）dx

即y=e-∫p（x）dx[（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C]11-n

其中C為任意常數.

對于（2）：

解 這是 n=3 的貝努利微分方程.

設y=uv.

于是u′v+（v′-1xv）u=（1+lnx）u3v3

令v′-1xv=0，

則有v=x，

u′=（1+lnx）x2u3.

將上式分離變量，并積分得

u-2=-49x3-23x3lnx+C.

因此所求（2）式的通解為

x2y2=-49x3-23x3lnx+C，

其中C為任意常數.

方法2：微分法

在方程（1）的兩邊同乘以積分因子e∫p（x）dx得

e∫p（x）dxy′+e∫p（x）dxp（x）y=Q（x）e∫p（x）dxyn

即ddxye∫p（x）dx=Q（x）e（1-n）∫p（x）dxye∫p（x）dxn.

從而 dye∫p（x）dx1-n=（1-n）Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx.

對上式兩邊積分得

ye∫p（x）dx1-n=（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C.

因此方程（1）的通解為

y=e-∫p（x）dx（1-n）∫Q（x）e（1-n）∫p（x）dxdx+C11-n，

其中C為任意常數.

對于（2）：

解 將方程（2）的兩邊同乘積分因子

e-∫1xdx=1x，

并進行整理得

1xy′-1x2y=1+lnxxy3，

即dyxyx3=x2（1+lnx）dx.

兩邊積分可得

-12yx-2=29x3+13x3lnx-C2.

因此方程（2）的通解為

x2y2=-49x3-23x3lnx+C，

其中C為任意常數.

本文介紹了兩種解貝努利微分方程的方法，學生在解具體的貝努利微分方程時，要根據題目的特點靈活選擇方法求解.