從一道新加坡高中數學考試題談起

叢心尉

【摘要】 利用函數在特殊點的函數取值范圍，判斷函數待定系數滿足的不等式，并引入門捷列夫的一個關于此類不等式證明的猜想，同時舉例說明這種普通解題方法與門捷列夫猜想在實際解題中的應用.

【關鍵詞】最大值;門捷列夫猜想

新加坡來華東各省市招收高中后保送生，曾考過這樣一道題目：

題 對x∈[0，1]，設ax2+bx+c≤1，求|a|+|b|+|c|的最大值.

解 設函數f（x）=ax2+bx+c，x∈[0，1]，則

f0=c

f（1）=a+b+c

f12=14a+12b+c

解這個關于a，b，c的三元線性方程組，即用函數值表達f（x）的系數，得

a=2f（1）-4f12+2f0，

b=4f12-f（1）-3f0，

c=f0.

因x∈[0，1]，f（x）≤1，故

|a|=2f（1）-4f12+2f0

≤2f（1）+-4f12+2f0

≤2+4+2=8.

同理，|b|≤8，c≤1.故|a|+|b|+c≤17，即所求最大值為17.

相傳，化學元素周期表的創始者門捷列夫（1834—1907）曾作過下列猜想：

設x≤1，若一元n次多項式

f（x）=anxn+…+a2x2+a1x+a0

滿足f（x）≤M，則導數的絕對值f′（x）≤Mn2.

下面通過一道例題的兩種解法（普通解法與門捷列夫猜想）來說明此類題的解法.

例 設x≤1時，ax2+bx+c≤1，求證：x≤1時，2ax+b≤4.

證法1 設f（x）=ax2+bx+c，則

f-1=a-b+c

f（1）=a+b+c

f0=c

a=12f（1）+f-1-2f0，

b=12f（1）-f-1.

因x≤1時，f（x）≤1，故

2ax+b=f（1）+f-1-2f0x+12f（1）-f-1

=x+12f（1）+x-12f-1-2xf0

≤x+12+x-12+2≤4

證法2 利用本文所證結論，設f（x）=ax2+bx+c，

則f′（x）=2ax+b.

∵已知x≤1時，f（x）=ax2+bx+c≤1，

∴當x≤1時，f′（x）=2ax+b≤1×22=4.

【參考文獻】

[1] 叢日明，金曉菁.高等數學考試題典[M].北京：新華出版社， 2006： 60-73.

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