反函數求導法新論

梁素梅 李紅娟

【摘要】本文從多角度推導出反函數求導法，在反函數的性質基礎上，結合復合函數求導法則以及隱函數求導法則，有效地結合起來，使反函數求導方法豐富多彩.

【關鍵詞】反函數;隱函數;鏈式法則;求導

一、反函數求導法

1.反函數的導數等于原函數的導數的倒數

如果函數y=f（x）在某區間內連續且嚴格單調，又在該區間內點x處導數f′（x）存在且不為0，則其反函數 x=f-1（y）在對應點y處可導，且有

（f-1（y））′=1f′（x），（1）

dxdy=1dydx.（2）

首先我們知道的關于反函數的一個性質是，若記函數f（x）的反函數為f-1（y），那么有：

f[f-1（y）]=y.（3）

f-1[f（x）]=x.（4）

2.反函數性質和復合函數求導

復合函數求導法則：由幾個函數復合而成的函數，叫復合函數.由函數y=f（u）與u=φ（x）復合而成的函數一般形式是y=f[φ（x）]，其中u稱為中間變量.

y=f（u）在u處可導，u=φ（x）在x處可導，則復合函數y=f[φ（x）]在x處也可導，且dydx=dydu·dudx或dydx=d[f（u）]du·d[φ（x）]dx或（f[φ（x）]）′=f′（u）φ′（x）.（5）

復合函數求導法還可以推廣到含有更多個中間變量的情形.

3.反函數性質和隱函數求導

隱函數求導法則：設方程F（x，y）=0確定了可導函數y=f（x），在方程F（x，y）=0的兩端分別對x求導，最后解出y′.隱函數求導法的關鍵是要把y當作x的函數y=f（x），利用鏈式法則求導，并且最后解出的y′是一個關于x，y的函數，即y′=G（x，y）.

二、反函數求導法例釋

例1 求函數x=ln（y）的導數.

解 此函數是y=ex的反函數，y′=ex.

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1ex=1y.

解法2 由式子（3）可得elny=y，兩邊對y求導，左邊由鏈式法則得elnydlnydy，右邊=1，即elnydlnydy=1，得dlnydy=1y.

解法3 y=ex，即F（x，y）=y-ex=0，兩邊對y求導，1-exx′=0，即x′=1ex=1y.

例2 求反正弦函數x=arcsin y （-1 < y < 1）的導數.

解 函數的反函數是y=sinx，-π2

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1cosx=11-y2.

解法2 由式子（3）可得sin（arcsiny）=y，

兩邊對y求導，左邊由鏈式法則得

cos（arcsiny）darcsinydy，

右邊=1.∵cosx=cosB=1-y2，

∴左邊=1-y2 darcsinydy=1，得

darcsinydy=11-y2.

解法3 y=sinx，即F（x，y）=y-sinx=0，兩邊對y求導得，1-cosxx′=0即x′=1cosx=11-y2.

用類似的方法可求得反余弦函數的導數為（arccosx）′=11-x2，（-1

顯然從以上兩個例子可以看出，三種方法都可以求解反函數的導數，可根據具體情況具體采用相應的方法達到簡化反函數求導步驟.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學·上冊[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]華東師范大學數學系.數學分析.上冊[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：98-100.