二維隨機變量的和的概率密度求解

韓兆君 徐玉國

【摘要】本文結合具體例題就二維隨機變量的和的概率密度求解中的難點問題給出詳細分析.

【關鍵詞】二維隨機變量;概率密度;分段區間

教學過程中發現，當二維隨機變量（X，Y）的聯合密度為分段函數時，其和Z=X+Y的密度也為分段函數，在概率密度求解過程中，存在三方面的問題：（1）Z的分段區間的確定;（2）被積函數表示式的確定;（3）積分上下限的確定.本文結合一題二維隨機變量的和的密度求解，就以下三種方法給出易于理解的解題思路.

1.重要公式

設（X，Y）是二維連續型隨機變量， 具有概率密度f（x，y），則Z=X+Y仍為連續型隨機變量，且概率密度為：

fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞f（z-y，y）dy.公式（1）

又若X和Y相互獨立，設（X，Y）關于X，Y的邊緣密度分別為fX（x），fY（y），則得：

fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞fX（z-y）fY（y）dy.卷積公式

2.例題分析

例 設X的概率密度fX（x）=x2，0

0，其他一，Y的概率密度fY（y）=4-y8，0

0其他，

且X和Y相互獨立，試求隨機變量Z=X+Y的概率密度fZ（z）.

方法1：圖像分析法——利用公式（1）：fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx求解.

解題過程分析：①寫出被積函數f（x，z-x）的表示式（注意：f（x，z-x）表示式為分段函數，在積分過程中，僅有非零表示式為有效積分部分）;②建立xOz軸，根據表示式中x，z的取值范圍，在xOz面內畫出被積函數的非零區域;③將z看作參數，在xOz面內作平行x軸的直線，根據從-∞到+∞沿x積分過程中，被積函數表示式非零的區間上下限的不同，將z分段，逐段進行求解.

具體求解： f（x，z-x）=fX（x）·fY（z-x）=x2·4-（z-x）8，0

0，其他，

結合圖形不難看出，z的取值不同，從-∞到+∞沿x積分過程中，被積函數表示式非零的區間上下限的不同，從而將z分段討論，具體求解如下：

當z≤0或z>6時，fZ（z）=∫+∞-∞0dx=0

當0

當2

當4

由上可得，z的概率密度為：

fZ（z）=18z2-196z3， 0

23-18z，2

23-18z+196（z-4）3，4

0，其他.

方法2：區間分析法——利用卷積公式：fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx求解.

解題過程分析：利用卷積公式計算時，僅需在被積函數fX（x）·fY（z-x）表示式非零的區間內積分即可.而fX（x）·fY（z-x）表示式非零，需在fX（x）與fY（z-x）均非零的公共區間內，由此可確定z的分段，并相應得到計算時的積分區間.

具體求解： fX（x）=x2，0

0，其他，

fY（z-x）=4-（z-x）8，0

0，其他，

因此，為使被積函數表示式非零，應滿足不等式組：0

0

z-4

下面借助數軸討論x的取值范圍.區間（0，2）和區間（z-4，z）無非可能以下六種關系：

a.z≤0 b.0

d.無解 e.46

后面的求解步驟與方法1相同，且在數軸中的陰影區間即為非零概率密度的積分區間.

【參考文獻】

[1]盛驟，等.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]魏宗舒，等.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.