求解函數值域的常用方法

張昌儉

【摘要】復合函數直接求得值域很困難，求值域的方法很多，本文列舉了七種經典的解法.

【關鍵詞】反函數;常數分離;判別式法;數形結合;換元法;有界性

直接求解復合函數的值域比較困難，本文主要解決不能用直接法求解值域的復合函數，本文主要講解了七種常用的經典方法，分別是求導法、反函數法、常數分離法、判別式法、數形結合法、換元法和有界性.

一、形如y=x-kx（k>0）與y=x+kx（k>0）兩類函數的值域

y=x-kx（k>0）與y=x+kx（k>0）兩個函數形式很像，但是性質差異卻很大，下面我們來分別講解下這兩種函數求解值域的方法.

對于y=x-kx（k>0），我們用直接法去求解它的值域，可以把它看成兩個單調遞增函數y=x與y=-kx（k>0）的和，其中y=x在實數上單調遞增，y=-kx（k>0）在（-∞，0）和（0，+∞）兩個區間上分別單調遞增的，因此兩個函數的和在（-∞，0）上和（0，+∞）兩個區間上分別也是單調遞增的.

例1 求y=x-6x在[1，7]上的值域.

解析 因為y=x-6x在x≠0上是單調遞增函數，因此它在[1，7]的值域為-5，437.

對于y=x+kx（k>0），它在定義域x≠0上沒有單調性，可求導判斷單調性.

y′=1-kx2，當y′>0時，x∈（-∞，-k）∪[k，+∞）.當y′<0時，x∈[-k，0）∪（0，k].也就是說單調遞增區間是（-∞，-k]和[k，+∞），單調遞減區間是[-k，0）和（0，k]，它不是連續函數，在零點間斷，所以分別在各區間上單調遞增和單調遞減.

例2 求y=x+6x在（-∞，-1]上的值域.

解析 因為y=x+6x在（-∞，-6]上單調遞增，在這個區間上的值域是（-∞，-26]，在[-6，-1]上單調遞減，在這個區間上的值域也是[-7，-26]，所以在整個定義域上的值域是（-∞，-26].

點評 這種類型的題，主要看x和1x前面的系數是否同號，如果異號就直接判斷它的單調性，如果同號就是分段的單調性.同樣地，y=-x+kx（k>0）兩個系數異號，直接考慮單調性，它相當于y=x-kx（k>0）函數取負，所以它在（-∞，0）和（0，+∞）兩個區間上分別單調遞減;y=-x-kx（k>0）兩個系數同號，所以考慮分段單調性，它相當于y=x+kx（k>0）函數取負，所以它的單調遞減區間是（-∞，-k]和[k，+∞），單調遞增區間是[-k，0]和（0，k].一般形式，y=ax+kx，其中a，k為任意常數，如果a，k異號，則直接判斷函數的單調性;如果a，k同號，則可以變形為y=ax+kax，然后分別得出單增區間和單減區間.

二、反函數法和分離常數法求解形如y=cx+dax+b（a≠0）的值域

首先介紹反函數法.

若f（x）與g（x）互為反函數，則f（x）的定義域就是g（x）的值域，而f（x）的值域就是g（x）的定義域，所以如果要求一個函數的值域，可以通過求它的反函數的定義域得到.

例3 求y=x-12x+3的值域.

解析 f（x）=x-12x+3，求它的反函數.

2xy+3y=x-1，

（1-2y）x=3y+1，

x=3y+11-2y.

所以反函數為f-1（x）=3x+11-2x，可得反函數的定義域為-∞，12∪12，+∞，所以原函數的值域為-∞，12∪12，+∞.

現在介紹分離常數法.

y=cx+dax+b可以經過一系列變形，首先把分子和分母上x的系數提出來，如y=ca·x+dcx+ba，然后變形為y=ca·x+ba+dc-bax+ba，最后分離得y=ca·1+dc-bax+ba，dc-bax+ba不可能為零，所以函數值不可能為ca，所以值域為-∞，ca∪ca，+∞.在例3中，a=2，c=1，所以值域為-∞，12∪12，+∞.

點評 對于此類題目，分離常數法比較容易，計算量小并且速度快，y=cx+dax+b的值域只與a，c兩個常數有關，與b，d兩個常數無關.

三、判別式法和分離常數法求解形如y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2（a21+a22≠0）的值域

例4 求y=x2-x+3x的值域.

解析 y=x2-x+3x把它變形為關于x的二次方程yx=x2-x+3，

然后變形為x2-（1+y）x+3=0.

當x=0時，y∈R.

當x≠0時，Δ=（1+y）2-12≥0，也就是（1+y）2≥12，所以1+y≥23或者1+y≤-23，所以值域為（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

當a1和a2其中有一個為0，一個不為0時，可以利用y=x+kx（k>0）的性質求解值域.

在例4中，y=x2-x+3x可以變形為y=x+3x-1，因為x+3x在（-∞，0）上的值域為（-∞，-23]，在（0，+∞）上的值域為[23，+∞），所以y=x+3x-1的值域為（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

例5 求y=x2-8x+17x-4在[7，+∞）上的值域.

解析 除了判別式法，還可以聯合分離常數法和y=x+kx（k>0）的性質求解.

原函數可變形為y=（x-4）2+1x-4，則y=（x-4）+1x-4.

令t=x-4，因此y=t+1t，t≥3，y在t∈[3，+∞）上單調遞增，

所以y∈103，+∞.

點評 注意分子和分母的函數形式.當分子和分母至少有一項為二次函數時均可用判別式法求值域，其中如果分子和分母一個是二次函數，一個是正比例函數，則可利用y=x+kx（k>0）的性質求解值域問題，如果分子和分母一個是二次函數，一個是一次函數，則利用分離函數法和y=x+kx（k>0）的性質求解值域問題.當分子和分母都是一次函數，則用分離常數法求值域.

四、數形結合法求解函數的值域

形如y2-y1x2-x1可聯想兩點（x1，y1）與（x2，y2）連線的斜率，而形如y=（x-x1）2+（y-y1）2+（x-x2）2+（y-y2）2可聯想到一個點分別與（x1，y1）和（x2，y2）的連線和.

例6 求y=sinx2-cosx的值域.

解析 可把原來的函數看成y=0-（-sinx）2-cosx，可看作（2，0）和（cosx，-sinx）連線的斜率，而點（cosx-sinx）的軌跡方程為x2+y2=1，是圓心在原點，半徑為1的圓，而（2，0）與圓上的點連成的直線方程，斜率取到最大值和最小值是過（2，0）這個點引圓的兩條切線方程的斜率，所以問題就轉化為求過（2，0）點引圓的兩條切線的斜率為多少，設斜率為k，切線方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0.因為圓心到切線的距離為1，所以|-2k|1+k2=1，解得k=±33，所以（2，0）和（cosx，-sinx）連線的斜率最大值為33，最小值為-33.所以原函數的值域為-33，33.

例7 已知x，y滿足5x+12y-60=0，求x2+y2的取值范圍.

解析 x2+y2可看成（x-0）2+（y-0）2，可看作直線5x+12y-60=0上的點到原點的距離，易知這個距離可以無限大，而距離最小就是過（0，0）引垂線交于直線5x+12y-60=0，這條垂線段距離最短，即|-60|52+122=6013，所以x2+y2的范圍是6013，+∞.

五、換元法求解函數的值域

利用代數或三角換元求解值域.形如y=ax+b±cx+d，其中a，b，c，d均為常數，并且ac≠0，令cx+d=t.形如a2-x2，可用三角代換，令x=acosθ，θ∈[0，π].

例8 求y=x-1-2x的值域.

解析 令t=1-2x，t≥0，所以x=1-t22.

因此原函數變為y=1-t22-t，即y=-12（t+1）2+1，t≥0，

y=-12（t+1）2+1在[0，+∞）上單調遞減，所以y∈-∞，12.

例9 求y=x+1-x2的值域.

解析 令x=cosθ，θ∈[0，π].原函數變為y=cosθ+sinθ，θ∈[0，π].

變形為y=2sinθ+π4，θ∈[0，π]，所以θ+π4∈π4，5π4

，sinθ+π4∈-1，22.因此y∈[-2，1].

六、利用有界性求解函數的值域

例10 求y=sinx1+cosx的值域.

解析 原函數可變形為y+y·cosx=sinx，sinx-y·cosx=y，

1+y2sin（x-φ）=y，其中tanφ=y，

所以sin（x-φ）=y1+y2.又因為|sin（x-φ）|≤1，

則y1+y2≤1， y2≤1+y2，所以y∈R.

求解復合函數的值域不僅僅只有以上七種方法，很多時候是結合使用的.一般情況，當不能用直接法求解的時候，首先考慮的是求導法，如果求導法過于復雜或者不能求解出來，這個時候就會考慮這幾種方法或者它們的組合.