讓我?guī)闳ワw翔，為數(shù)列問(wèn)題插上函數(shù)思想的翅膀

池進(jìn)平

【摘要】希爾伯特說(shuō)：數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正在于各部分之間的聯(lián)系.從這個(gè)意義上看，數(shù)列豐富了我們所接觸的函數(shù)概念的范圍，它是離散函數(shù)的典型代表.所以我們可以借助函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)列問(wèn)題，本文由淺入深地通過(guò)幾個(gè)典型例題，幫助我們認(rèn)識(shí)到一旦為數(shù)列問(wèn)題插上函數(shù)思想的翅膀，就會(huì)飛得更高更遠(yuǎn).

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;函數(shù)思想;運(yùn)動(dòng)變化

首先結(jié)合幾個(gè)例題談?wù)勅绾卧诤瘮?shù)觀點(diǎn)下解決簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題：

一、數(shù)列的最值問(wèn)題

已知數(shù)列{an}滿足an=n2-8n+5n（n∈N+），則an的最小值為.

評(píng)析 an=n2-8n+5n=n+5n-8，借助函數(shù)f（x）=x+5x-8的圖像，在（0，5）單調(diào)遞減，在（5，+∞）單調(diào)遞增，又n∈N+，∴（an）min={a2，a3}=-72，-103=-72.

數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù).特別要注意n∈N+，所以數(shù)列的圖像只是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像上孤立的點(diǎn).

此外，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系能夠幫助我們更快速地解決最值問(wèn)題.

如：等差數(shù)列{an}滿足：a1<0，S5=S13，則{an}的前項(xiàng)和最（填“大”或“小”）.

解法一 基本量的運(yùn)算，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由S5=S13，得： 5a1+5×42d=13a1+13×122d，∴a1=-172d，又a1<0，d>0，

即{an}是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列.

因此，當(dāng)an≤0且an+1>0時(shí)，Sn有最小值.

∴-172d+（n-1）d≤0，

-172d+nd>0，解得：172

所以，此數(shù)列的前9項(xiàng)之和最小.

解法二 利用等差數(shù)列的性質(zhì)：

∵S5=S13，∴a6+a7+…+a12+a13=0.

∴a6+a13=a9+a10=0，{an}是等差數(shù)列，而an是關(guān)于n的一次函數(shù)，

又a1<0，∴a9<0，a10>0.

∴此數(shù)列的前9項(xiàng)之和最小.

解法三 已知S5=S13，而Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得其對(duì)稱(chēng)軸方程為n=5+132=9.

又拋物線過(guò)（0，0），（1，a1），所以開(kāi)口向上.

所以，當(dāng)n=9時(shí)，Sn最小.

評(píng)析 解法一執(zhí)著于基本量的運(yùn)算，運(yùn)算量較大;

解法二利用等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）與一次函數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，快速解決問(wèn)題;

解法三利用等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1+n（n-1）d2=d2n2+（a1-d2）n與二次函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像輕松解題.

二、數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+λn，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，

則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

解法一 對(duì)稱(chēng)軸n=-λ2<32，即λ>-3.

解法二 ∵{an}為遞增數(shù)列，∴an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）

=2n+1+λ>0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，即λ>-2n-1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，

也就是只要λ大于-2n-1的最大值即可.

又當(dāng)n=1時(shí)，-2n-1max=-3，∴λ>-3.

評(píng)析 若函數(shù)f（x）=x2+λx+5在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是，利用二次函數(shù)的知識(shí)，會(huì)得到了錯(cuò)誤答案：x對(duì)=-λ2≤1，即λ≥-2.

分析原因 對(duì)應(yīng)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)是數(shù)列{an}為遞增數(shù)列的充分不必要條件，

所以數(shù)列{an}的單調(diào)性問(wèn)題可以利用函數(shù)圖像解決，但要注意分析拐點(diǎn)的情況.

如：設(shè)a>0，若an=（3-a）n-3，n≤7，

an-6，n>7，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解 3-a>0，

a>1，

（3-a）×7-3≤a8-6，解得a∈（2，3）.

也可以利用數(shù)列的單調(diào)性定義轉(zhuǎn)成恒成立問(wèn)題解決.同時(shí)注意數(shù)列單調(diào)性的數(shù)列特征：

利用 an+1-an的符號(hào)來(lái)判定.

如：已知不等式1n+1+1n+2+…+12n>112log2（a-1）+712對(duì)一切大于1的自然數(shù)n都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解 令

f（n）=1n+1n+2+…+12n（n∈N且n≥2），

f（n+1）-f（n）=…=12n+1+12n+2-1n+1=12（n+1）（2n+1）>0，

∴f（n+1）>f（n），∴f（n）為增函數(shù)，且f（n）min=f（2）=712.

由題意得712>112log2（a-1）+712，

∴l(xiāng)og2（a-1）<0，解得1

評(píng)析 數(shù)列單調(diào)性判斷的步驟：作差、定號(hào)、下結(jié)論.

注意數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別，還有數(shù)列的個(gè)性特征，作差用an+1-an.

三、數(shù)列的周期性問(wèn)題

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=cosnπ2+1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2014=.

評(píng)析 利用三角函數(shù)的周期性得：T=4，1，0，1，2，…，∴S2014=4×503+1=2013.

例 （2007年廣東高考）已知函數(shù)f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α>β），f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù).設(shè)a1=1，an+1=an-f（an）f′（an）（n=1，2，…）

（1）求α，β的值;（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an>α.

評(píng)析 （1）α=-1+52，β=-1-52.

（2）an+1=an-a2n+an-12an+1=a2n+12an+1，把a(bǔ)n+1 看作關(guān)于an的函數(shù).

令g（x）=x2+12x+1，（x>α），g′（x）=2（x2+x-1）（2x+1）2=2（x-α）（x-β）（2x+1）2>0，

∴g（x）在（α，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）>g（α）=α.

即：若an>α，則an+1>α.

再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法 ：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1>α;

②假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即ak>α，

則ak+1=a2k+12ak+1>α，∴n=k+1時(shí)不等式也成立.

由①②知an>α對(duì)所有n∈N*成立.

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待函數(shù)，是解決此類(lèi)數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵，在例1中我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列cn的通項(xiàng)cn可以看成關(guān)于n的函數(shù)，也可以看成關(guān)于bn的函數(shù);在例2中我們發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系中可以把a(bǔ)n+1 看作關(guān)于an的函數(shù).但是有一些問(wèn)題，往往還需要我們通過(guò)分析自己構(gòu)造一個(gè)相關(guān)函數(shù).

從函數(shù)的觀點(diǎn)去研究數(shù)列問(wèn)題，能使解數(shù)列的問(wèn)題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí).因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問(wèn)題.