2013年浙江省高考數學（理科）試卷第9題賞析

朱華東

2013年浙江省高考數學（理科）試卷第9題（以下稱題1）是：如圖，F1，F2是橢圓C1：x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率為：A.2;B.3;C.32;D.62.

這道題給筆者的第一感覺是圖形很美，將橢圓、雙曲線的對稱美、和諧美一覽無余;第二感覺其解法也很美，無須進行繁雜乏味的計算，巧用橢圓、雙曲線的定義就可獲得答案，因而這無疑是充分體現數學內在美的好題.

另外，這道題還留給讀者充分思考想象的思維空間.

若將題1中橢圓C1、雙曲線C2都以一般形式出現，而其余條件不變，那么C1與C2的離心率之間必有某種聯系，其有什么聯系呢？

定理1 設F1（-c，0），F2（c，0）是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及雙曲線C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦點，則平行四邊形AF1BF2為矩形，若C1，C2的離心率分別為e1，e2，則1e21+1e22=2.

證明 由橢圓、雙曲線的定義可知：|AF1|+|AF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a′，∴|AF2|=a+a′，|AF1|=a-a′，

而|F1F2|=2c，|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，∴（a+a′）2+（a-a′）2=4c2.

即a2+a′2=2c2，∴ac2+a′c2=2.

∴1e21+e22=2.

定理1證完.

不難證明：

1e21+1e22=2是平行四邊形 AF1BF2為矩形的充要條件，即1e21+1e22≠2時，

平行四邊形AF1BF2一定不是矩形，也就是平行四邊形AF1BF2中∠A一定不是直角，那∠A應是多大呢？

定理2 設F1（-c，0），F2（c，0）是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及雙曲線C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，∠A是平行四邊形AF1BF2的內角，若C1，C2的離心率分別為e1，e2，則

cosA=e21+e22-2e21e22e22-e21.

證明 定理1的證明中有|AF2|=a+a′，|AF1|=a-a′，|F1F2|=2c，

∴cosA=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2|AF1||AF2|

=（a-a′）2+（a+a′）2-4c22（a+a′）（a-a′）

=a2+a′2-2c2a2-a′2

=ac2+a′c2-2ac2-a′c2

=1e12+1e22-21e22-1e22

=e21+e22-2e21e22e22-e21.

定理2證完.

顯然，定理2是定理1的一般情形.

我們思維的雙翼可陸續飛向更遠空間.若將定理2的F1，F2換成橢圓長軸的兩個端點，或雙曲線的兩個頂點，∠A又是多大呢？

定理3 設F1（-c，0），F2（c，0）是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）及雙曲線C2：x2a′2-y2b′2=1（a′>0，b′>0）的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點，

A1，A2是橢圓C1長軸的端點，∠A是平行四邊形AA1BA2的內角，若C1的離心率為e，則cosA=-ee2+4bb′2.

證明 由題意，a2-b2=a′2+b′2=c2.

將C1，C2的方程聯立，消去x，得

y2=（a2-a′2）b2b′2（c2-a′2）a2+a′2（a2-c2）=b2b′2c2，

∴y=±aa′c.

又A在第二象限，∴A-aa′c，bb′c.

∴|AA1|=-1caa′+a2+bb′c2

=1c（c-a′）2a2+b2b′2，

|AA2|=1c（c+a′）2a2+b2b′2.

∴|AA1|2+|AA2|2=2c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）.

∴|AA1|2+|AA2|2-|A1A2|2=2c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）-4a2=2c2（-c2a2+a2a′2+b2b′2）=2c2[a2（a′2-c2）+b2b′2]=2c2（-a2b′2+b2b′2）=2b′2c2（-a2+b2）=-2b′2.（*）

而|AA1||AA2|=1c2（c-a′）2a2+b2b′2·（c+a′）2a2+b2b′2=1c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）2-2ca′a2·（c2a2+a2a′2+b2b′2）2+2ca′a2

=1c2（c2a2+a2a′2+b2b′2）2-4c2a′2a4

=1c2[c2a2+a2（c2-b′2）+b′2（a2-c2）]2-4c2a′2a4

=1c（2a2c-b′2c）2-4a′2a4

=1c4a4c2-4a2b′2c2+b′4c2-4a′2a4

=1c4a4 c2-4a2b′2c2+b′4c2-4（c2-b′2）a4

=1c4a4b′2-4a2b′2c2+b′4c2

=b′c4a4-4a2c2+b′2c2=b′c4a2b2+b′2c2.（**）

由（*）（**）得

cosA=|AA1|2+|AA2|2-|A1A2|22|AA1||AA2|=-2b′2c2b′4a2b2+b′2c2=-c4a2bb′2+c2=-ca4bb′2+ca2