化干戈為玉帛

許琴

含參數問題在近幾年高考中屢見不鮮，也是各大省市命題的熱點.學生對含參數問題普遍覺得很抽象，要么放棄不做，要么討論不周全，處理得不夠好，缺乏深層次的認識.其實可以化干戈為玉帛，讓學生由聽懂、看懂轉變為能獨立駕馭含參數問題.下面通過幾道例題來談談我的一些粗淺的做法，以饗讀者.

一、優先分離，避免討論

例1 函數f（x）=x+1x，g（x）=ax-lnx，若對任意的x1，x2∈1，e，都有f（x1）≥gx2成立，求實數a的取值范圍.

解法一 由題意轉化成f（x）min≥g（x）max.

f（x）=x+1x在[1，e]上的最小值為f（1）=2，

g′（x）=ax-1x.

當a≤0時，g（x）在[1，e]上單調減，g（x）max=g（1）≤2，解得a≤0.

當a>0時，（1）0<1a≤1，即a≥1，g（x）在[1，e]上單調增，g（x）max=g（e）≤2，解得1≤a≤3e;

（2）1<1a

（3）1a≥e，即0

綜上得：a的取值范圍是-∞，3e.

解法一是該題的常規思路，經歷了二重討論，即參數a與0的比較及a與區間端點的比較.討論煩瑣，耗時長，對于不少高中生來說容易層次不清，討論不全面，難以堅持到最后.其實可以沖破思維定式，避開參數的討論，迅速準確地解決問題.

解法二 由題意轉化成f（x）min≥g（x），再由分離變量法，解出字母a的范圍.

f（x）=x+1x在[1，e]上的最小值為f（1）=2，

則有ax-lnx≤2，可變形為a≤2+lnxx，記h（x）=2+lnxx，即a≤h（x）min，

h′（x）=-1-lnxx<0，則h（x）在[1，e]上單調減，h（x）min=h（e）=3e，即a≤3e.

對比兩種解法，顯然解法二簡單易懂，它的本質是先求出不含參數一邊的最值，含參數一邊通過分離變量法求出最值，避開了字母討論.解法二耗時短，易操作，摒棄了直覺判斷的參數討論，開創了解題新思路，充分展現了數學簡潔美，起到了事半功倍的效果.

二、挖掘隱含條件，縮小字母范圍，簡化討論過程

例2 （2011·浙江）設函數f（x）=a2lnx-x2+ax，a>0.

（1）求f（x）的單調區間;

（2）求所有的實數a，使e-1≤f（x）≤e2對x∈1，e恒成立.

在高考中第（2）問得分率很低，主要是考生對f（x）最值的求解分三種情況進行了討論（即參數a與區間端點位置之間的關系討論），運算量大，而且得不到最終結果，究其原因是有些不等式不易求解.如何避開題目預設好的窠臼，抓住題目的已知條件，將參數a的范圍進行縮小，這樣才可以使解題的復雜程度降低，效率大大提高.解法如下：

解 （1）f′（x）=a2x-2x+a=-（x-a）（2x+a）x，由于a>0，所以f（x）的增區間為（0，a），減區間為（a，+∞）.

（2）由題意得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，由（1）知f（x）在1，e內單調增，

要使e-1≤f（x）≤e2對x∈1，e恒成立，只要f（1）≥e-1

f（e）≤e2，解得a=e.

這樣的例子不乏少見，如2013年上海高考題（2013·上海）：設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=9x+a2x+7.若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，求a的取值范圍.

此題可通過f（0）≥a+1將參數a的范圍進行約束，從而大大簡化運算過程.在時間受限，大腦高度緊張的考試狀態下，此法可謂大快人心！

學生對參數問題的掌握是一個長期潛移默化的過程，應根據題目條件，仔細探究選擇“通法”還是“巧法”.唯有不斷在學中反思，在反思中學，才能積累方法，優選方法，找準解題的著力點與落腳點，實現含參問題的游刃有余.