三元數函數與解析

白爍星 韓江燕

【摘要】本文從復數理論出發，通過推廣函數、解析等數學概念，逐步建立了三元數函數與解析的理論.

【關鍵詞】數平面;數空間;平面解析;空間解析;泛解析;半解析;冪級數

【中圖分類號】O153.5 泛代數

一、引 言

三元數、多元數的研究始于曲阜師大《中學數學雜志》發表的《超越復數的三元數》《復數的多元數》，后東北師大《數學學習與研究》發表了《代數基本定理在高維數空間之證明》，多項式函數首先得到了深刻的研究.然而數空間里是否存在優美和諧的函數與解析理論呢？本文從復數理論出發，通過推廣函數、解析等數學概念，嘗試給出了一個有趣的解答.

二、三元數基礎知識

1.三元數的代數運算與三維數空間

形如a+bi+cj（a，b，c∈R）的數叫作三元數，三元數通常用一個字母p來表示，即

p=a+bi+cj，全體三元數構成的集合叫作三元數集，用字母A3來表示，定義：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，則有：（a0+a1i+a2j）±（b0+b1i+b2j）=（a0±b0）+（a1±b1）i+（a2±b2）j，

（a0+a1i+a2j）×（b0+b1i+b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2）+（a0b1+b0a1）i+（a0b2+b0a2）j.

說明 （1）三元數的加法滿足交換律、結合律，乘法滿足交換律及對加法的分配律;

（2）除法是乘法的逆運算，兩個三元數作除法運算，可依三元數相等的定義及乘法公式求得.

建立了空間直角坐標系來表示三元數的空間叫作三維數空間，簡稱數空間，仍用A3來表示.于是：

實數一一對應實軸上的點;

復數z=a+bi一一對應復平面內點z（a，b）;

三元數p=a+bi+cj一一對應數空間內點p（a，b，c）.

2.三元數的幾何表示與重要性質

三維數空間內的點p可以表示三元數，由于三元數集A3與三維數空間內所有以原點O為起點的向量OP所組成的集合一一對應（實數0與零向量對應），所以三元數也可以用起點在原點的向量來表示.p=a+bi+cj稱為三元數的代數形式，p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ稱為三元數的三角形式.

（1）三元數的模 與三元數p=a+bi+cj對應的向量OP的模（即有向線段OP的長度）r叫作三元數p=a+bi+cj的模（或絕對值），記作p或a+bi+cj，易知p=a+bi+cj=a2+b2+c2.

三元數模的幾何意義是：三元數p在數空間內對應的點p到原點的距離.

（2）三元數的輻角與傾角 數空間可看作復平面繞x軸旋轉而成，x軸與空間點p可唯一確定一個平面，該平面與復平面的夾角φ稱三元數p=a+bi+cj的傾角，φ=arctancb，平面xOp稱傾角為φ的數平面，特別地，復平面是傾角為0的數平面，無數個數平面形成了數空間.當點p落在x軸上時，傾角φ值不定，也就是說：實數的傾角φ值不定.

以x軸的正半軸為始邊，向量OP所在的射線（起點是O）為終邊的角θ叫作三元數p=a+bi+cj的輻角，記作Argp.

（3）輻角的主值 在區間0，2π內的輻角θ的值叫作輻角的主值，記作argp，即0≤argp<2π.非0三元數的輻角有無限多個值，但輻角的主值只有一個，三元數0的輻角不定.

說明 （1）三元數的代數形式是唯一的，但三角形式不唯一;

（2）復平面是傾角為0的數平面;

（3）在復平面上成立的結論，在其他傾角的數平面上也成立;

（4）代數形式p=a+bi+cj與相對應的三角形式p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ的互化公式：

a=rcosθ，b=rsinθcosφ，c=rsinθsinφ，具體依下列規則進行

先求r：r=a2+b2+c2，再求θ：由點p0（a，b）的所在象限及rcosθ=a共同確定（一般取最小正角），最后求φ：一般地，取φ=arctancb，-π2<φ≤π2，b=0，c≠0時，φ=π2;b=c=0時，φ值不定.

從更高的觀點來看，可以觀察到數學在更高層次上的統一，復數的代數形式與極坐標的統一，三元數的代數形式與球坐標的統一，極坐標是球坐標的特例，復數是三元數的特例.

三元數的加法滿足平行四邊形法則，減法滿足三角形法則.復數是實數的擴充，三元數是復數的擴充，要特別注意三元數與復數及實數的聯系與區別.

（1）實數與數軸上的點一一對應，復數與復平面內的點、復平面內以原點為起點的向量一一對應，三元數與數空間內的點、數空間內以原點為起點的向量一一對應.

（2）兩個實數可以比較大小，有關不等式的一些性質僅限于實數集中成立.

（3）三元數的模是實數及復數絕對值的擴充，實數與復數的絕對值是三元數模的特例，因此三元數模的所有性質對實數絕對值都成立，而實數絕對值的一些性質對三元數模則不一定成立.

p=1，在p為實數時表示兩個點±1，在p為復數時表示單位圓，在p為三元數時表示單位球面.

（4）實數集對加、減、乘、除、乘方運算封閉，復數集與三元數集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉.

（5）一般地，一元n次代數方程在復數集中有且僅有n個根，在三元數集中可以有多于n個的根，甚至有無窮多個根存在.

3.三元數三角形式的運算

（1）在傾角為φ的數平面上，設pn=rn[cosθn+sinθn（icosφ+jsinφ）]，n=1，2，3，則有

p1.p2.p3=r1.r2.r3[cos（θ1+θ2+θ3）+sin（θ1+θ2+θ3）·（icosφ+jsinφ）]，顯然，同在一個數平面上的三個數相乘，其乘積的模為模的乘積，復數乘法是其特例.

三元數的三角形式可用來直觀描述一個星體在軌道傾角為φ的平面上繞中心天體的運行情況：p=rcosωt+sinωticosφ+jsinφ，r為該星體運行的圓形軌道的半徑.

如軌道為橢圓，公式可改寫為：p=acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）.

若軌道還需旋轉一個角度θ，公式可再改寫為：

p=[acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）][cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）].

其中a，b表示星體運行的橢圓軌道的長半軸與短半軸，t表示時間，ω表示星體運行的角速度， T=2πω表示該星體繞中心天體運行的周期.cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）是三維數空間里的旋轉算子，該算子還可推廣至更高維數空間.

（2）三元數的乘方 三元數的n（n∈N）次冪的模等于這個三元數的模的n次冪，它的輻角等于這個三元數的輻角的n倍，而傾角不變.rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）n=rncosnθ+sinnθ（icosφ+jsinφ）.

特別地，當φ=0時得：r（cosθ+isinθ）n=rn（cosnθ+isinnθ）.

此即復平面上的Movire定理，在這里成了三元數乘方的一個特例.

（3）三元數的開方 三元數的n（n∈N）次方根是

nrcosθ+2kπn+sinθ+2kπn（icosφ+jsinφ）

，（k=0，1，…，n-1）.

注意：①一般地（指p不為實數時），三元數總有固定的傾角φ，這時三元數的n次方根是n個三元數，它們的模等于這個三元數的模的n次算術根，它們的輻角分別等于這個三元數的輻角與2π的0，1，2，…，n-1倍的和的n分之一，而傾角φ不變.

②p為實數時，傾角φ值不定，需解參數方程：

x=nrcosθ+2kπn，y=nrsinθ+2kπncosφ，z=nrsinθ+2kπn·sinφ），（k=0，1，…，n-1）.

易知-1的平方根是icosφ+jsinφ，它的幾何意義是數空間中以原點為圓心，垂直于復平面，在平面yOz上的單位圓，其與復平面的交點恰好是i與-i兩個點，-1在復平面上有且僅有兩個根，在數空間中卻有整整一個圓的根存在.這是給出定義i2=j2=-1，i·j=0時所完全不曾預料的事情！

需要指出的是：求一個三元數的n次方根，當n=2時，勉強可利用定義解代數方程求得，當n較大時用三元數的三角形式求解較為簡單.

三元數開方的幾何意義

一般地，三元數（指p不為實數時）p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]開n次方的n個根在數空間內所對應的n個點均勻地分布在以原點為圓心，nr為半徑，與復平面的傾角為φ的數空間中的一個圓上.

當然，當p為實數時，其n次方根的幾何意義依然可利用三元數的求方根公式進行討論，讀者不妨自行一試.

4.三元數的重要定義、定理與推論

4.1模律定理 兩個三元數a=a0+a1i+a2j，a0≠0，|a|=r1，x=x0+x1i+x2j，a為常量，x為變量，x=r2≠0，其積p=ax的模r，當且僅當a2x1-a1x2=0，即兩個三元數在同一個數平面上時，三元數積的模等于兩個三元數的模的積，得到最大值rmax=r1.r2;當且僅當x20a21+a22=0且a1x1+a2x2=0時，得到最小值rmin=a0r2.

依高等幾何知識，a0≠0，p=ax，本質上表示一個仿射變換，球面x=r2≠0通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉、伸縮后被映射成一個橢球面，模律定理恰好揭示出了橢球面的最長半軸與最短半軸.特別地，如果a=a0+a1i+a2j=a0，此時得到一個半徑r=a0r2的球面，球面的半徑是常量，當然最大值與最小值相等.

給定三元數a=a0+a1i+a2j，|a|=r，一一對應一個矩陣A，該矩陣的行列式 A=a0r2稱為數a的基本值，限制a的基本值A≠0，A≠0a0≠0仿射變換成為可逆線性變換，商x=pa唯一可求.特別地，在復域中，復數a=a0+a1i的基本值A=a20+a21≠0r≠0a≠0，基本值的通項公式為A=an-20r2.初等數學中一般規定0不作除數正是A≠0的特例.（A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2）

4.2.推論（零因子定理） 兩個三元數a=a0+a1i+a2j，x=x0+x1i+x2j，|a|=r1≠0，x=r2≠0，當且僅當x0=a0=0，且a1x1+a2x2=0時，其乘積p=ax=0.

4.3.除法定理 已知p=ax，p=p0+p1i+p2j，a=a0+a1i+a2j，求x=x0+x1i+x2j=pa.將p=ax乘出，依三元數相等的定義，得三元一次方程組，當a0≠0時，方程有唯一解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，

x1=a0（p1a0-p0a1）+a2（p1a2-p2a1）a0（a20+a21+a22），

x2=a0（p2a0-p0a2）+a1（p2a1-p1a2）a0（a20+a21+a22）.

當p1a2-p2a1=0，即p與a在同一個數平面上時，方程組有形式簡單的解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，x1=p1a0-p0a1a20+a21+a22，

x2=p2a0-p0a2a20+a21+a22.

如果p2=a2=0，數平面的傾角為0，即得出復域內結果，顯然復數除法是三元數除法的特例.

再來研究a0=0，a≠0時的情形.將p=ax乘出，得三元一次方程組a0x0-a1x1-a2x2=p0，

a1x0+a0x1=p1，

a2x0+a0x2=p2. （1）

（2）

（3）

方程組系數矩陣的行列式A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2=0a0=0.

當a1≠0，a2≠0且p1a2-p2a1=0時，得解：x0=p1a1=p2a2，a1x1+a2x2+p0=0，當p1a2-p2a1≠0時無解.

當a1≠0，a2=0且p2=0時，得解： x0=p1a1，x1=-p0a1，x2∈R，當p2≠0時無解.

當a2≠0，a1=0且p1=0時，得解： x0=p2a2，x2=-p0a2，x1∈R，當p1≠0時無解.

若在復域內考慮p2=0，a2=0，當a1≠0時得解：x0=p1a1，x1=-p0a1，x2=0，此時得出了唯一解，復域內情形為三元數除法的特例.

注意到在p1a2-p2a1=0商有唯一解的公式中取a0=0，將x1=-p0a1a21+a22，x2=-p0a2a21+a22代入商有直線解的公式a1x1+a2x2+p0=0，將x0=p1a1=p2a2代入x0=p1a1+p2a2a21+a22仍成立，可去間斷點必在連續直線上.在三元數函數論中，為了研究問題的方便，定義可去間斷點為三元數商的主值，與商一樣仍用x=pa來表示，以實現商的單值連續，x=pa在商多值時一般專指商的主值，復域內情形為其特例，以后不再一一說明.

利用數平面的概念，上述結果可簡述為：

（1）a0≠0時，方程組有唯一解，商唯一可求.

（2）a0=0，a≠0時，如果p與a在同一個數平面上，方程組有一條直線的解，商的主值唯一可求，復域內解為其特例.

（3）a0=0，a≠0時，如果p與a不在同一個數平面上，方程組無解，商為空集.

最后來研究a=a0+a1i+a2j=0時的情形，此時a0=a1=a2=0，如果p≠0，此時沒有任何三元數x滿足p=ax，所以解集是空集;如果p=0，此時任意一個三元數x均滿足p=ax，所以解集為A3，意即所有的三元數均為所求.

綜上所述，三元數的乘除法比加減法要更為微妙，從函數的觀點來看，三元數乘法得到的積是單值函數，三元數除法得到的商卻可以一值、多值（主值唯一）、甚至無解.其實即使在復域內考慮，乘除法也并不完全可逆，0就是個例外，初等數學中一般規定0不作除數，以保證除法運算所得到的商總是單值.在三元數函數論中，從更一般的觀點來看，三元數除法等價于三元一次方程組的求解，任意兩個三元數總可作除法，除法運算即解方程組的過程總可以進行，只是除法運算的結果（商）可能單值、多值或無解罷了.

4.4推論（倒數定理） p=ax，p=1時，x稱為a的倒數，代入p=1，a=a0+a1i+a2j，得：

（1）a0≠0時，倒數x=x0+x1i+x2j=1a唯一可求.x0=a0a20+a21+a22，x1=-a1a20+a21+a22，x2=-a2a20+a21+a22.

（2）a0=0，a1≠0，a2≠0時，得解：x0=p1a1=p2a2=0，a1x1+a2x2+1=0，方程組有一條直線的解.

（3）a0=0，a1≠0，a2=0時，得解：x0=p1a1=0，x1=-1a1，x2∈R，方程組有一條直線的解.

（4）a0=0，a2≠0，a1=0時，得解：x0=p2a2=0，x2=-1a2，x1∈R，方程組有一條直線的解.

（5）任何數乘以0都不等于1，所以0沒有倒數，反之，任何非0三元數總有至少一個倒數.

在復變函數論中，倒數函數y=1x將一個圓單值連續映照為另一個模為倒數的圓，在三元數函數論中，多值商取主值x0=0，x1=-a1a21+a22，x2=-a2a21+a22后倒數函數y=1x將一個球面單值連續映照為另一個模為倒數的球面，復數倒數是三元數倒數的特例.

4.5乘除轉化定理 一般地，pa，a0≠0，當且僅當p1a2-p2a1=0時，pa=p×1a， p除以一個三元數等于乘以這個三元數的倒數.實際上，當p1a2-p2a1=0，a0=0，a≠0商為多值時乘除轉化定理仍成立，此時只需左邊商取多值或主值而右邊a的倒數也取多值或主值乘出即可.

利用數平面的概念， 乘除轉化定理可簡述為：

一般地，a≠0，當且僅當p與a在同一個數平面上時pa=p×1a，p除以一個三元數等于乘以這個三元數的倒數，復域內情形為其特例.

4.6結合律定理 三個三元數相乘p=p1p2p3，當且僅當p2為實數或者p1，p3在同一個數平面上時，結合律成立，由于實軸是所有數平面的公共軸，任意數平面均包含實數，所以至少有一個數是實數的三個數相乘，其乘積滿足結合律.

4.7代數學基本定理 三維數空間里一般系數的一元n次代數方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解（a0=a00+a01i+a02j，a00≠0）.

4.8推論（實系數代數學基本定理）如果實系數一元n次代數方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有u個實根x1，x2，…， xu，t對虛根r1（cosθ1±isinθ1），…，rt（cosθt±isinθt），那么該方程在數空間里有且僅有u個實根x1，x2，…，xu和t個圓的非實數根（pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，t），u+2t=n.

4.9推論（實根定理）如果實系數一元n次代數方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有且僅有n個實根x1，...，xn，那么其在數空間里也有且僅有n個實根x1，...，xn

4.10推論（虛根定理）如果實系數一元n次代數方程a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an=0（a0≠0）在復平面上有且僅有n2對虛根r1（cosθ1±isinθ1），…，rn2cosθn2±isinθn2，那么其在數空間里有且僅有n2個圓的非實數根 （pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，n2）.

三、三元數函數

通過引入定義：（1）i2=j2=-1，（2）ij=0，現在已能對兩個三元數作加、減、乘、除等四則運算，對單個三元數可進行乘方、開方，還可以解出數空間里形如ax=b，axn=b（n∈N，n≥2）的二項方程.

這都屬于初等數學中代數運算的范疇，下面利用冪級數理論對三元數函數進行推廣.

1.指數函數

定義：ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N） （1）

先研究p=（icosφ+jsinφ）θ的指數函數，將p代入（1）并整理得

ep=（1-θ22！+θ44！-…）+（icosφ+jsinφ）（θ-θ33！+θ55！-…）=cosθ+（icosφ+jsinφ）sinθ （2）

可以給出嚴格的證明，ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N）在整個數空間內是收斂的.

令φ=0，在（2）中即可得到eiθ=cosθ+isinθ.

此即著名的Euler公式，這里可以從三元數理論中導出，從而是三元數理論中的特例.

當p=a+bi+cj=rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）時，代入（1）得

ep=ercosθersinθ（icosφ+jsinφ）

=ercosθcos（rsinθ）+（icosφ+jsinφ）sin（rsinθ）（3）

此即求任一三元數指數函數的公式，三元數還有指數形式p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ.

2.三角函數與雙曲函數

三元數p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ=r（cosθ+T3sinθ），T3=icosφ+jsinφ確定了三元數p所在的數平面在數空間中的位置，稱為三元數p的代數傾角，簡稱傾角，相應φ特指三元數p的幾何傾角.

cosp=1-p22！+p44！-…=eT3p+e-T3p2（p∈A3）

sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3）=eT3p-e-T3p2T3（p∈A3）

tanp=sinpcosp，cotp=cospsinp，secp=1cosp，cscp=1sinp

coshp=ep+e-p2，sinhp=ep-e-p2，tanhp=sinhpcoshp，cothp=coshpsinhp，sechp=1coshp，cschp=1sinhp.

3.對數函數

q=lnp，則eq=p，p≠0，因eq=0無解，將p以指數形式寫出：p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ，并記q=u+vi+wj，于是p=re（icosφ+jsinφ）θ=eu+vi+wj=euevi+wj，u=lnr，vi+wj=（icosφ+jsinφ）（θ+2kπ）（k∈Z），

所以： q=lnp=lnr+（icosφ+jsinφ）Argp=lnr+T3Argp=lnp+T32kπ（lnp=lnr+T3Argp），由于指數函數在傾角為φ的數平面上有周期2π（icosφ+jsinφ）=2πT3（復平面傾角為0，周期為2πi），其反函數對數函數是多值函數.

現在研究映射p=eq，q=u+vi+wj，平面u=u0被映射成球面r=eu0，設vi+wj=ρ（icosφ+jsinφ），ρ=±v2+w2，v=ρcosφ，w=ρsinφ，φ∈-π2，π2，ρ依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…，映射p=eq將自變量數空間內的中心圓柱體、無窮多的半圓環柱體依次映射成了函數數空間（不含原點），復變函數論中w=ez=ex+yi將直線x=x0映射成圓r=ex0，自變量復平面帶形區域y依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…被映射成了函數復平面（不含原點），復域內結論是三元數函數論中的特例，實質表述了數空間中一個剖面的情形.

4.反三角函數和反雙曲函數

注意到對數函數、三角函數、雙曲函數其實均來源于指數函數，而指數函數實質為在整個數空間收斂的實系數的冪級數，任取一個數平面來研究，當自變量在傾角為φ的數平面上取值時，函數值亦在該數平面上變動，有

arcsinp=-（icosφ+jsinφ）ln[（icosφ+jsinφ）p+1-p2].

arccosp=-（icosφ+jsinφ）ln（p+p2-1）.

arctanp=12（icosφ+jsinφ）ln1+（icosφ+jsinφ）p1-（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ-picosφ+jsinφ+p.

arccotp=12（icosφ+jsinφ）ln1-（icosφ+jsinφ）p1+（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ+picosφ+jsinφ-p.

arcsinhp=ln（p+p2+1），arccoshp=ln（p+p2-1），arctanhp=12ln1+p1-p，arccothp=12lnp+1p-1.

5.冪函數

pa=ealnp，p≠0，其中a與p是三元數，三元數基礎理論中已討論過a=n和a=1n（n∈N）的情形，分別為p的乘方與開方，一般p的開方根函數就已是多值函數，在新的定義下得出的結論與以前的結果并無不同.當a取一般的三元數時出現了新的情況，盡管三元數的冪函數也是通過指數函數來定義，但由于a與p不一定在同一個數平面上，所以當自變量在傾角為φ的數平面上變動時，函數值不一定仍在這個數平面上變動.

6.多項式和有理函數

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n（an，p∈A3，n∈N），h（p）=f（p）g（p），其中f（p），g（p）均為多項式.多項式是有理函數的特例.顯然，在整個三維數空間A3內多項式處處收斂.

7.整函數與分式函數

在三維數空間A3內，可表示成處處收斂的冪級數的和的三元數函數稱為整函數，多項式是最簡單的整函數，非多項式的整函數（無窮高次多項式）稱為超越整函數，指數函數與三角函數都是超越整函數.易知有界整函數是常數.

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n+…（an，p∈A3，n∈N），limn→∞n|an|=0，h（p）=f（p）g（p）（其中f（p），g（p）均為整函數）稱為分式函數.在復變函數論中研究了收斂的實系數、復系數的冪級數，在三元數函數論中，還需進一步去研究收斂的一般三元數系數的冪級數.

借助將三維數空間看作由傾角為0的數平面（復平面）繞實軸（或x軸）旋轉而成的幾何解釋，立即可以理解下列以0點為中心的冪級數的收斂性：

Sn=a+ap+…+apn-1+…=a1-p（a∈R，p∈A3，p<1，n∈N）

ep=1+p1！+…+pnn！+…，cosp=1-p22！+p44！-…， sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3，n∈N）

由于第一個冪級數在復平面上的單位圓內收斂，而單位圓繞x軸在三維數空間里旋轉得到單位球面，所以級數在三維數空間里的單位球內收斂，其他幾個冪級數由于在整個復平面內收斂，所以它們在整個三維數空間里亦收斂.

8.一般的三元數函數

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，p=x+yi+zj，其中P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）均為x，y，z的三元實函數，從本質上講，復變函數理論就是一對二元實函數的理論，而三元數函數論就是三個三元實函數的理論.

四、三元數函數的解析理論

定義4.1 設f（p）為定義在區域D內的單值函數，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，自變量p=x+yi+zj，將f（p）沿傾角為φ的數平面pφ作正交分解：f（p）=f1+f2，f1=P+（Qcosφ+Rsinφ）（icosφ+jsinφ），f2=（Qsinφ-Rcosφ）（isinφ-jcosφ），當Qsinφ-Rcosφ=0時，自變量與函數值在同一個數平面pφ上變化，原式化為f（p）=u（x，ρ）+v（x，ρ）（icosφ+jsinφ），如果函數f（p）在p0處沿數平面pφ可微，則稱函數f（p）在p0處可導.此時φ為常量，有

Qsinφ-Rcosφ=0，P（x，y，z）=u（x，ρ），Q（x，y，z）=v（x，ρ）cosφ，R（x，y，z）=v（x，ρ）sinφ，y=ρcosφ，z=ρsinφ.

定義4.2 如f2=0，將函數f（p）的定義域D依數平面分開，如果函數在傾角為φ的數平面pφ上的部分處處可微，則稱函數在D內pφ上解析，簡稱平面解析;如果函數在D內所有數平面上處處可微，則稱函數在自變量區域D內解析，簡稱空間解析.

從定義可看出：對于三元數函數，導數未采用比的極限的傳統定義，而是利用了可微即可導的原理，有f（p0+Δp）-f（p0）=f′（p0）Δp+o（Δp）（Δp→0），直接把函數的微分系數定義成了函數的導數.

不難得出函數可微或可導的充要條件為：

Q（x，y，z）sinφ-R（x，y，z）cosφ=0，ux=vρ，uρ=-vx（1）

在復域內考慮，傾角φ=0，R（x，y，z）=0，z=0，y=ρ，（1）式就變成了傳統的C-R條件：

ux=vy，uy=-vx，復域內結論是三元數函數論中的特例.

定義4.3 將函數f（p）沿傾角為φ的數平面pφ作正交分解，如f2≠0，f1在傾角為φ的數平面pφ上的部分處處可微，則函數在D內可分成兩部分，f1解析，f2不解析，稱函數f（p）為半解析函數.

易知函數半解析的充要條件為： f2≠0， Px=（Qcosφ+Rsinφ）ρ=Qρcosφ+Rρsinφ，Pρ=-（Qcosφ+Rsinφ）x=-Qxcosφ+Rxsinφ（2）

定義4.4 設函數f（p）為定義在區域D內的單值連續函數，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，如果f（p）可表示成一個收斂的三元數系數的冪級數，則稱函數f（p）為泛解析函數.解析函數是泛解析函數的特例.

定理4.1 泛解析函數f（p）表示成處處收斂中心在原點0的冪級數的充要條件是組成函數的三個實變函數自鄰域中心點0分別作Taylor展開后的各項滿足（1），稱為泛解析Taylor條件.

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j=a0+b0i+c0j+（a1+b1i+c1j）p+…+（an+bni+cnj）pn+…（1）

P（x，y，z）=P（0，0，0）+（xx+yy+zz）P（0，0，0）+12！xx+yy+zz2P（0，0，0）+…（2）

Q（x，y，z）=Q（0，0，0）+xx+yy+zzQ（0，0，0）+12！xx+yy+zz2Q（0，0，0）+…（3）

R（x，y，z）=R（0，0，0）+xx+yy+zzR（0，0，0）+12！xx+yy+zz2R（0，0，0）+…（4）

將p=x+yi+zj代入（1）式展開，對比各式得到無窮個偏微分方程組，依次求之得an，bn，cn等.

a0=P（0，0，0），b0=Q（0，0，0），c0=R（0，0，0），a1=P（0，0，0）x=Q（0，0，0）y=R（0，0，0）z，b1=Q（0，0，0）x=-P（0，0，0）y，

c1=R（0，0，0）x=-P（0，0，0）z，Q（0，0，0）z=R（0，0，0）y=0，……

復域內復變函數在原點解析的條件是三元數函數在原點泛解析Taylor條件的特例.在三元數函數論中，函數可表示成收斂的冪級數與函數解析并不等價.

五、三元數函數的積分理論

三元數函數的積分主要是考慮沿數空間內曲線的積分，曲線應為簡單光滑或逐段光滑的有向曲線，定義∫Cf（p）dp=limn→∞Sn=limn→∞∑nk=1f（ζk）Δpk，如果C為閉曲線，積分方向又為曲線的正方向，則沿此閉曲線的積分又可記作：∮Cf（p）dp，一般地，C上的連續函數f（p）在C上可積.

定理5.1（圍道積分公式） 設三元數函數f（p）在三維數空間A3的一個單連通區域D內空間解析，p0是D內的任意一點，則

f（p0）=12π（icosφ+jsinφ）∮Cf（p）p-p0dp，其中閉路C為圍住點p0的簡單光滑或逐段光滑的閉曲線，C在D內傾角為φ的數平面pφ上，p0，Cpφ.

證 當點p0不在實軸上時，在傾角為φ的數平面pφ上作圍道C，據Cauchy積分公式定理得證，如果點p0恰好位于實軸上，此時通過任意一個數平面作圍道積分后亦可證得，故定理成立.復域內情形是φ=0時的特例.特別地，如取f（p）≡1，則有2π（icosφ+jsinφ）=∮C1p-p0dp，φ=0時即得2πi=∮C1p-p0dp.

注意：如點p0不在實軸上，傾角φ∈-π2，π2，此時點p0能且只能位于唯一的一個數平面上，只有在這個數平面上作圍道積分才能求得f（p0），若點p0恰在實軸上，則通過任意一個數平面作圍道積分均可求得f（p0）.

定理5.2（積分為0定理） 設f（p）是區域D內的連續函數，如對于D內任意一條簡單光滑閉曲線C都有∮Cf（p）dp=0，f（p）=u（x，y，z）+v（x，y，z）i+w（x，y，z）j，p=x+yi+zj，則有

ux=vy=wz，uy=-vx，uz=-wx，vz=wy.

證 ∮Cf（p）dp=∮C（u+vi+wj）（dx+idy+jdz）=∮C（udx-vdy-wdz）+（vdx+udy）i+（wdx+udz）j=0.

據Green公式與Stokes公式展開后，定理得證.

在復域內此定理即成為Morera定理， Morera定理是此定理的特例.但在三維數空間，一般地，積分為0與函數解析并不等價.單連通區域D內沿閉路積分為0的連續函數的積分完全由它的上下限決定，而與所沿的路徑無關，固定一點p0，另一點p在D內變動，則變上限積分所確定的函數F（p）=∫pp0f（ζ）dζ與路徑無關，因而是p的一個單值函數.

六、三元數函數的級數理論

1.三元數項級數與三元數函數項級數

定理6.1.1 給定一個三元數序列pn，其中pn=an+bni+cnj，n∈N，p0=a+bi+cj，則limn→∞pn=p0，當且僅當limn→∞an=a，limn→∞bn=b，limn→∞cn=c（各系數均為實數）.

定理6.1.2 三元數項級數∑∞n=1pn（pn=an+bni+cnj）收斂的充要條件是實數項級數∑∞n=1an，∑∞n=1bn，∑∞n=1cn同時收斂.

定理6.1.3 三元數項級數∑∞n=1pn收斂的必要條件是limn→∞pn=0.

定理6.1.4 絕對收斂的三元數項級數其本身一定收斂.

定理6.1.5 若三元數函數均定義在集合D上，并且有不等式fn（p）≤Mn，n∈N，正項級數∑∞n=1Mn收斂，則函數項級數∑∞n=1fn（p）在D上一致收斂.

定理6.1.6 若fn（p）在區域D內連續，級數∑∞n=1fn（p）在D內一致收斂于和函數s（p），則s（p）在D內處處連續.

定理6.1.7 若fn（p）均在光滑或逐段光滑的曲線C上連續，級數∑∞n=1fn（p）在C上一致收斂于函數s（p），則s（p）在C上可積，并且有∫Cs（p）dp=∑∞n=1∫Cfn（p）dp.

定理6.1.8若fn（p）均在區域D內解析，并且∑∞n=1fn（p）在D內一致收斂于和函數s（p），則s（p）在D內解析，并且有s′（p）=∑∞n=1f′n（p），p∈D.

2. 冪級數

實系數處處收斂的冪級數在所有的數平面上解析，屬于空間解析，非實數的復系數的處處收斂的冪級數僅在復平面上解析，屬于平面解析，當然還存在一般三元數系數的處處收斂的冪級數，屬于泛解析.

定理6.2 給定冪級數（1），如果極限limn→∞n|an|=ρ，limn→∞n|an0|=ρ0，則當p<1ρ=R時，級數收斂;當p>1ρ0=R0時，級數發散.∑∞n=0anpn=a0+a1p+a2p2+…+anpn+…（n∈N，p∈A3） （1）.

證 據三元數的模律定理an0·pn≤anpn≤an.pn，由于p<1ρ=R時，ρp<1，級數（1）的各項取絕對值后所構成的冪級數（2）收斂，所以級數（1）也收斂;當p>1ρ0=R0時，ρ0p>1，1

∑∞n=0an·pn=a0+a1·p+a2·p2+…+an·pn+…（n∈N，p∈A3） （2）.

在三元數理論中，一般地，anpn≠anpn0·pnpn0，所以僅根據冪級數在p0（≠0）點收斂，并不能判定級數在以原點為中心、p0為半徑的球內收斂，此時仍需根據定理6.2來判定級數的收斂區域.當然也可能級數的一般項只有limn→∞n|an|=ρ成立，此時一般就只能判定級數在p<1ρ=R時收斂.

3.Laurent級數

定義6.3 在球帶區域D內（R1

∑+∞n=-∞an（p-p0）n（1），令ζ=1p-p0把（1）分成兩部分∑+∞n=0an（p-p0）n+∑+∞n=1a-nζn，前一級數p-p0R1時收斂，如恰好R1

七、四個定義、兩個猜想與結論

定義7.1 如果泛解析三元數函數f（p）在p點的值不存在，則稱p為函數f（p）的奇點.

定義7.2 如果在點p的某一空心鄰域內f（p）有界，則稱p為函數的可去奇點.

定義7.3 如果在點p的某一空心鄰域內當自變量趨于點p時，f（p）趨于無窮，則稱p為函數的極點.

定義7.4 如果在點p的某一空心鄰域內f（p）可趨于任意三元數（包括無窮），則稱p為函數的本性奇點.

猜想7.1（單位球猜想） 對于三維數空間內任一邊界不止一點的單連通區域，必存在收斂的冪級數將其一對一映照到單位球內部.

猜想7.2（例外值猜想） 超越整函數f（p）至多有一個點或半個圓的例外值（點是半個圓半徑趨于0時的極限），否則方程f（p）=q在三維數空間總有無窮多個根.

f（p）=a0+a1p+…+anpn+…（an，p，q∈A3，m，n∈N），limn→∞n|an|=0，an=an0+an1i+an2j，n≥m時，an0≠0.

在復變函數論中，單連通域內連續函數沿閉路積分為0與函數解析等價，函數在圓盤區域內或圓環區域內存在處處收斂的冪級數表示與函數解析等價，然而在三元數函數論中，函數存在冪級數表示不一定解析，解析只是函數存在冪級數表示的特例.Weierstrass通過冪級數來構建函數論的方法某種意義上更為基本，這種形而上學的形式化定義既適用于結合代數，也適用于非結合代數，即使在傳統解析與積分理論不再成立的地方，冪級數理論仍然適用.

新的三元數函數論也提供了很多有趣的問題，比如在三維數空間解析函數的零點與奇點就不一定孤立，像f（p）=p2+1（p∈A3）就有一個圓的零點p=icosφ+jsinφ，但如果固定φ值將數空間依數平面分開，則每一個數平面上函數有且僅有兩個孤立的零點.又如在復變函數中經常提到的在單位圓內收斂的冪級數f（p）=11+p2=1-p2+p4-p6+…（p∈A3），一般教材都是告訴讀者因為在單位圓的圓周上出現了兩個極點i與-i，函數在這兩點變為無窮，因而導致了函數的收斂域只能在單位圓內，不過如果從三元數函數論的觀點來看，導致函數收斂區域只能在單位球內的更深刻原因其實是因為在三維數空間內函數有一個整圓的奇點p=icosφ+jsinφ擋住了冪級數繼續延拓的進程.

必須指出：一篇小短文遠不足以闡明三元數函數論中的所有問題與研究方向，由于新的理論更多是從連續函數的性質出發而得出了諸多更一般的結論，因而與拓撲學和幾何學存在著天然緊密的聯系.同時出于解方程的需要，三元數函數論與非線性代數方程組、微分積分方程理論等也密不可分.在過去幾十年中，復變函數論中的一些重要結論逐漸被用拓撲學的方法給出了更為深刻的證明，考慮到連續函數是解析函數的更一般情形，相信隨著三元數函數論與數學中其他分支聯系的日益加深，新的理論必然會隨著更多新鮮養分的注入而茁壯成長、日臻成熟.

最后指出，只需將三元數p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]的傾角T3=icosφ+jsinφ換成高維數空間中的傾角Tn=∑nk=1ikcosφk，T∞=∑∞k=1ikcosφk（∑nk=1cos2φk=∑∞k=1cos2φk=1），球坐標三元數理論可自然推廣至n維數空間乃至無窮維數空間而形成廣義球坐標多元數理論.新的理論具備自我發展、自我完善的能力充分證明：好的數學對象自有其不朽的生命與靈魂.一方面Cauchy是幸運的，因為只有一種復變函數理論，恰巧被Cauchy發現了;另一方面我們則更加幸運，因為Cauchy的發現并非全部，在復變函數理論之上，實際還存在著更為優美和諧的三元數函數論以及多元數函數論.科學研究需要敢于創新，創新是科學的本質與靈魂.只有不斷突破前人勇于創新，科學才能不斷進步和發展.前人的理論固然偉大，但后人的成就終將會超越前人，立德立言、求美求真，在探索科學的道路上，總有更偉大的理論在等待著后人.

八、致 謝

2006年《超越復數的三元數》在武漢湖北大學全國第六屆初數會上公開宣讀獲二等獎，由于曲阜師大李吉寶教授慧眼識珠，球坐標三元數理論2009年首先在《中學數學雜志》公開發表，2010年哈爾濱工業大學韓彥偉在獲得國家自然科學基金資助的論文《一種三元數的新定義》中首先引用了《超越復數的三元數》， 2011年北航全國大學生數學競賽的獲獎者蔣正好將球坐標三元數編入了其參加北航第二十一屆“馮如杯”競賽的論文《幾種三元數系的比較及其代數和分析初步》，蔣正好肯定了球坐標三元數理論的價值，并作了進一步的研究.人民教育出版社課程教材研究所網站很快全文轉載了《超越復數的三元數》《超越復數的多元數》《代數基本定理在高維數空間之證明》，新理論借助人教網得到了快速傳播.2012年上海浦東教育發展研究院周寧醫主任將球坐標三元數編入了《高中數學的探究性課題》，該教輔與華東師大版高中數學教材配套使用，由上海教育出版社公開發行，自此球坐標三元數首先在上海市進入了中學課堂.2014年《三元數函數與解析》在合肥師范學院全國第九屆初數會上公開宣讀獲二等獎.華東理工大學陸元鴻教授在“數學中國”網站第一個承認了白韓三元數，認為球坐標三元數可以看作是復數的一種推廣，并對其他可能存在的三元數進行了一般性探討，中國海洋大學常晉德老師曾熱心提供了研究三元數的重要參考資料，河南城建學院數理學院屈鵬展教授、全國初數會常務副理事長吳康教授等多年來鼓勵、支持了新課題的研究.在此謹向所有曾關心、推動了新理論研究、發展的專家學者們致以誠摯的謝意！