淺析立體幾何應用題的三種解法

張文軍

【摘要】文章針對教材中一道立方體幾何應用題的解法進行評析，然后給出本題的其他解法，總結出解決立體幾何的三種解法：坐標法、向量法、綜合法.

【關鍵詞】立體幾何 評析 解法

1.問題引入

高中數學教材人教A版選修2-1第三章開始引入的問題是：一塊均勻的正三角形面的鋼板質量為500 kg，在它的頂點處分別受力F1，F2，F3，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200 kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力至少為多大時，才能提起這塊鋼板？然后在3.2立體幾何中的向量方法中以例3形式呈現問題并解決問題（注：2013年6月印版的例3與引入問題有一些數字改動：鋼板質量為50 kg，力的大小為200 N）.

2.教材解法評析

教材如圖3.2-6所示建立空間直角坐標系而解決問題（具體解法見教材）.下面對教材的解法進行幾點評析：

（1）教材中建立空間直角坐標系的方法不是最好的.坐標系的建立方法是不唯一的，原則上是任意的，不會影響到最終結果;但通常為了簡化運算，我們要恰當建系.怎樣才算恰當呢？通常要盡量利用已知中現有或隱含的垂直關系以及圖形的對稱關系進行建系，使盡量多的點落在坐標軸上.筆者認為本例最好的建系方法應是以正三角形一邊為一軸，且以其中點為原點，豎直方向為z軸，進行建系.

（2）單位向量的引入未能起到簡化運算作用，無理式運算結果應化簡.教材引入力F1方向上的單位向量，這是學生難以想到的.引入單位向量的本意應是簡化運算，但在本例中未能起到顯著的簡化作用.另外教材中是怎樣解方程組得到，十分令人費解，可能是為了方便代入后面的二次方程吧.筆者認為應是x=-123=-36，z=23=63.簡潔性是數學的基本特征，運算結果能化簡的應化簡.另外幾何中若題設的正方體棱長，正方形或正三角形邊長不影響題解結果，為了簡化運算，通常可以設其為1單位，若題設中還出現中點，也可以設棱長或邊長為2單位.例如本題宜設正三角形的邊長為2長度單位.

（3）三個力的坐標的計算方法類似，本質無區別，但有細節處理須注意.教材在求出力F1的坐標后，直接類似地得出力F2，F3的坐標.題設是三個力同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都為60°，因此三個力坐標的計算方法是類似的，但有細節處理須注意：題意是力與三角形邊的夾角，轉化為兩向量的夾角時必須注意兩向量的起點，否則向量的夾角可能不同.本例中學生很容易誤認為F2與AB的夾角，F3與AC及BC的夾角仍為60°，這樣不可能計算出正確的結果.

（4）合力的作用點不能由合力的（向量）坐標確定.教材在求出合力坐標后，有這樣一句話：“這說明，作用在鋼板上的合力方向向上，大小為2006 N，作用點為O.”其中對力作用點的位置確定是準確的，但其理由不應是合力的向量坐標.筆者認為本例中合力的作用點可以直觀觀察，不需理由;或從力的平衡、圖形的對稱上理解，也不需證明;嚴格的證明需要物理上的力矩等概念來推理計算.向量和力是有區別的：向量是自由的，可以進行任意平移;力是眾多向量中的一種，是有一定物理意義的向量.大小、方向和作用點是力的三要素，表示力的有向線段一般不能隨意平移：只研究力的大小和方向時可以平移，這不改變力的性質，但要關注力的作用效果或力的作用點時，不能平移，否則可能改變力的性質.

3.本例的其他解法

教材在題后給出探究：不建立坐標系，如何解決這個問題？下面給出四種解法：

解法2（向量法）：以AB，AC，F1方向上的單位向量{e1，e2，e3}為空間的一個基底，則由題意有

e1·e2=e2·e3=e3·e1=12，F1=0·e1+0·e2+200e3.

設AB=λ·e1+0·e2+0·e3，AC=0·e1+λ·e2+0·e3，F2=xe1+ye2+ze3，則有

F2·BA=（xe1+ye2+ze3）·（-λe1）=-λ（x+y2+z2）=200×λ×12

F2·BC=（xe1+ye2+ze3）·λ（e2-e1）=λ（-x2+y2）=200×λ×12

|F2|2=x2+y2+z2+xy+yz+zx=2002，聯立以上三式可解得x=-200，y=0，z=200

即F2=-200e1+0·e2+200e3，同理可得F3=0·e1-200e2+200e3，

所以F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向為豎直方向，顯然向上，作用點為O.（下略）

解法3（向量法）：以AB，AC，F1方向上的單位向量{e1，e2，e3}為空間的一個基底，則F1=200e3，由題意可以把力F2，F3的起點分別沿BA，CA方向平移至B1，C1使三力的終點重合于力F1的終點E，易知此時E-AB1C1是正四面體，則EA=AB1=AC1=200，即AB1=200e1，AC1=200e2，

F2=F1-AB1=-200e1+0·e2+200e3，

F3=F1-AC1=0·e1-200e2+200e3，

F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，

|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向為豎直方向，顯然向上.（下略）

解法4（綜合法）：由相關物理知識，顯然合力方向向上，作用點為O，三個力在水平面上的合力為零，因此只需算出每個力向上的分力即可，設三角形ABC的中心為O，力F1的終點為E，由∠EAB=∠EAC=60°，易知點E在底面ABC上的射影G在AO上，作GF⊥AB于F，則AE=200，AF=100，AG=100cos30°=20033，EG=AE2-AG2=20063，即力F1向上方向的分力大小為20063N，同理可得其他兩力在向上方向的分力大小也為20063N;（下略）.

所以三力向上方向的合力大小為2006N.

解法5（向量法）：由題意易知表示三力的有向線段均落在一個正四面體D-ABC的側棱上.（可以把三個力的起點平移至點D處）所以三個力兩兩夾角均為600，顯然合力方向向上，作用點為O，合力大小為：

|F1+F2+F3|=

F12+F22+F32+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=2006N.（下略）

4.解法評析

（1）教材解法（解法1，坐標法）以直角坐標形式表示三個力，再進行向量運算而求出三個力的坐標及它們的合力，結果不僅能求出合力的大小，而且能從合力的坐標直接看出合力的方向;其他解法只能求出合力大小，合力方向還需另外計算或回到圖形中或用相關物理知識來確定.合力的作用點只能直觀觀察.

（2）前四種解法本質一致，都是把力（向量）進行分解.解法1是解法2的特殊情形，即解法1中取正交基底，從而可把向量用坐標表示;而解法2取的是斜交基底，更具一般性，實質上是空間向量基本定理的具體運用.因為正交基底的特殊性，使解法1在運算上較解法2快.解法2，3相同之處是都取斜交基底，但解法3結合運用了幾何推理，從而使向量的運算變得非常簡單.解法4仍是把向量進行分解，但只關注向上方向的分解，結合幾何推理，運算也較快.解法5不再對向量進行分解，而是充分利用題設的特殊性（也有幾何推理成分，其本質是空間三個不共面向量加法的平行六面體法則），直接求向量大小（模），運算快得幾乎心算幾秒就完成.

（3）解法4從幾何角度揭示問題的本質：求正三棱臺的高.解法5從向量角度揭示問題的本質：求平行六面體的對角線長.兩者都可揭示：當三力的合力剛好與鋼板的重力平衡時，表示三力的有向線段和三角形ABC的三邊形成正四面體的各棱;當三力的合力小于鋼板的重力時，把表示三力的有向線段終點相連，它們和正三角形鋼板的三邊形成正三棱臺（若把三力平移至終點合為一點，則終點和平移后的三個起點形成正四面體的頂點，正四面體的棱長小于正三角形ABC的邊長）;當三力的合力大于鋼板的重力時，三力必交于一點D，D-ABC形成正四面體，三力的終點和D也形成一個較小的倒置的正四面體.

5.結 語

教材在最后有總結：解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合方法、向量方法、坐標方法.并提問：你能說出它們各自的特點嗎？

綜合法可能要添加一些輔助線，對較多的幾何定義、定理、公理要能熟練運用，對空間的想象能力和邏輯推理能力要求較高，突破綜合法難點需要平時注意積累基本圖形的特征，比如正方體、正四面體等，并掌握一些添加輔助線的基本方法;具體到本例，要熟悉：斜線與平面一個角的兩邊夾角相等，則斜線在平面的射影為角的平分線.向量方法有固定的形式，即選好基底后，把其他向量均用基底表示再利用向量的運算解決問題，其中基底的選取及向量回路的選擇較自由而顯得有難度，且用向量計算長度有時運算量較大，對運算能力要求較高，突破向量法難點需要根據題設特點選好基底（通常要知道基底三向量的夾角和長度），準確地找到向量回路從而快速地把其他向量用基底表示，或通過設系數，再解方程求出系數;具體到本例，已知夾角，還需引入單位向量或設參數才能確定基底，解法3注意運用向量回路，計算就簡單些，解法5就是基底選得好，使運算更快.另外向量法必須向量參與運算，因此向量的相關運算要熟悉，特別是向量的夾角要注意向量的起點.坐標法是向量法的特殊情形，也有固定的形式，即恰當建立空間直角坐標系，然后求出相關點坐標，進而求出向量坐標，最后用向量的坐標運算解決問題，其中坐標系的建立可能有難度，對解方程組等代數運算能力要求較高，突破坐標法難點需要根據題設恰當建立坐標系（充分利用已知或隱含的垂直關系及圖形的對稱性），然后據條件算出相關點或向量的坐標，平時須多加練習，提高運算的速度和準確度;具體到本例，沒有三垂直關系，建系顯得有點難，更難的是相關的坐標需要復雜的運算.

對三種方法的定位，筆者認為要以綜合法為基礎，綜合運用，不能獨立專注于某一方法;平時練習要多角度考慮，三種方法都應掌握.三種方法，綜合方法應是主角，是基礎，后兩種方法注意不要脫離幾何特征，否則容易陷入復雜的運算中.比如本例中解法1，2，運算較復雜，若注意圖形幾何特征，運用幾何推理，可以不用復雜運算而直接得出另外兩力的表達式達到快速解決問題，即解法3，4，5.應試時應根據題設的特點選擇合適的一種方法，若選用向量法或坐標法一定要注意適當綜合幾何推理.