例談坐標法解決平面向量中的求值問題

林麗虹

【摘要】平面向量的表示方法有幾何法和坐標法.向量的表示不同，對運算也會產生不一樣的結果.在解題中，如果能夠結合題目的實際情況，機智地作出選擇，選擇恰當的方法，對問題的解決事半功倍.

【關鍵詞】平面向量;坐標法;平面直角坐標系

平面向量中的最值與范圍問題是一個熱點，也是一個難點，這類問題的題型是根據已知條件求某個量的最值、范圍，如模、夾角、系數數量積等，解決這一類問題的關鍵是建立求解目標的函數關系式，通過函數的值域解決問題，而平面向量兼顧“數”與“形”的雙重身份，所以解決這類問題的一種基本思想就是數形結合.而坐標法作為實現平面向量幾何問題代數化的一種體現，所以有必要對坐標法在向量中的應用做進一步的研究.

坐標法是通過建立直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題，使得向量的運算完全代數化的一種方法.本文主要是結合近幾年的各地高考題模擬題來說明坐標法的應用.那么什么樣的題目適合用坐標法呢？如題目中，已經有些元素被量化了，如有直角、 有長度、有角度等，那么是不是可以考慮選擇坐標法來解決問題.

高考試卷、模擬卷等經常會有一些向量的應用的題目，特別是求值、求最值問題往往難度都比較大，但是如果能夠根據條件，適當建立直角坐標系，則問題即可迎刃而解.如本文根據近兩年常遇到的一些質檢題、高考題，談談關于坐標法在解決平面向量中的最值問題的一些應用.

例1 （2013福建省質檢8）在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P為矩形內一點，且AP=32，若AP=λAB+μAD，λ，μ∈R，則λ+3μ的最大值為（ ）.

A.32B.62

C.3+34D.6+324

分析 如圖，建立平面直角坐標系，則A （0，0），

B（0，1），C（3，1），D（3，1）.

設P（x，y），則x2+y2≤34（0≤x≤3，0≤y≤1），AP=（x，y）=λ（0，1）+μ（3，0）.

∴x=3μ，

y=λ.所以λ+3μ=x+y，轉化為線性規劃問題，可行與域為四分之一圓

當直線z=x+y與圓x2+y2=34相切時，z最大，即0+0-z2=32，又z>0，∴z=62.選B.

例2 （2009安徽理數）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，點C在以圓O為圓心的圓弧OA上變動，若OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y的最大值是.

分析 以O為原點，OA所在直線為x軸，過O垂直于OA的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A（1，0），B-12，32，Cx-12y，32y.

因為點C在以圓O為圓心的圓弧OA上變動，所以C（cosθ，sinθ），其中0≤θ≤2π3.

所以x-12y=cosθ，

32y=sinθ，解得x=cosθ+3sinθ3，

y=23sinθ3.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sinθ+π6≤2，

當且僅當θ=π3時等號成立.所以x+y的最大值是2.

例3 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，∠ACB=45°，∠DEB=60°，若AD=xAB+yAC，則x=，y=.

分析 以A為原點，建立直角坐標系，如圖所示.

設AB=AC=1BC=DE=2.

∵∠DEB=60°，∴BD=62.

由∠DBF=45°，解得DF=BF=62×22=32，

D的橫坐標為x=1+32，縱坐標為32.

又AD=xAB+yAC，AB=（1，0），AC=（0，1），AD=1+32，32.

所以x=1+32，y=32.

變式：（2013廈門市高一下質檢第16題）已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C所對的邊，且a=5，b=12，

c=13，點I是△ABC的內心，若AI=λ（ABAB+ACAC），則λ等于多少？

例4 （2013廈門市3月份質檢第10題理科）如圖，直角梯形ABCD，∠A=π2，AD=CD=1，AB=3，點P在以C為圓心，與直線BD相切的圓內，AP=αAD+βAB，則α+β的取值范圍為（ ）.

A.1，32 B.（0，1）

C.1，53 D.12，53

分析 以A為原點，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立直角坐標系，

則A（0，0），B（3，0），C（1，1），D（0，1）.

直線BD的方程為x+3y-3=0，C到直線BD的距離d=1+3-310=1010.

設P（x，y），則P的軌跡方程（x-1）2+（y-1）2<110， AP=αAD+βAB，

∴（x，y）=α（0，1）+β（3，0），∴x=3β，

y=α，∴α+β=13x+y.令z=13x+y，當z=13x+y與圓相切時，z取得最值，此時13×1+1-z19+1=1010，解得z=1或53，∴選C.

變式1：已知正方形ABCD的邊長為2，點P為對角線AC上一點，則（AP+BD）·（PB+PD）的最大值為.

變式2：（2012廈門市高一下質檢第16題）如圖，邊長為1的正方形

ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動，則OB·OC

的最大值為.

總之，在數學問題中，應該加強對數學思想方法的總結和提煉，有效地進行歸納，堅持不懈，這樣才能做到有理可依，有法可循.