淺談坐標法在求解功（功率）問題中的應用

彭硯 余清婷 周廣春

【摘要】在物理上，功W=|F||s|cosθ（功率：P=|F||v|cosθ），但cosθ某些時候很難求，特別是在物體運動的過程中，θ在變動時，W（或P）計算起來很復雜.本文用坐標法，對于一些比較難用定義求功（功率）的例子進行了分析，希望起到一個拋磚引玉的效果，使大家對坐標法在物理中的應用更加清晰.

【關鍵詞】坐標法;功;功率

我們知道，功W=F→|s→|cosθ，（功率：P=|F||v|cosθ），θ為F→，s→（F→，v→）的夾角，但由于cosθ的影響，很多情況下，W（或P）計算起來很復雜，甚至有些時候沒辦法算出功（功率）的大小.如果我們把功（功率）看成是力和位移（力和速度）的數量積W=F·s→（P=F·v），我們就可以用數學中有關向量的知識，特別是坐標法去解決功（功率）的相關問題.坐標法在化簡解題步驟，解決某些問題（如求最大、最小值）問題上有其優越性（特別是在θ變化的情況下）.

1.對拋體物體做的功的計算

圖 1例1 如圖1，質量為m，離地面高度為H的物體有個水平向右初速度v，有一個恒力F→，方向與水平面成37°，而且滿足mg>0.6F→，求t 時刻F→力和重力對物體做的功分別是多少？

分析 由于物體下落時方向每時都在變，力F→與位移

的夾角很難求出來的，所以要求任意時刻力F→所做的功，

用W=|F||s|cosθ是很難求出來，所以我們選擇用坐標法，

非常簡單.

解 F→（F→cos37°，F→sin37°）=（0.8F→，0.6F→），

水平方向，物體的加速度為a→水平=0.8F→m，

豎直方向上物體的加速度 -a→豎直=mg-0.6F→m（負號表示方向向下）

t時刻物體的位移為s→=（v0t+12a→水平t2，-12a→垂直t2）

∴t 時刻F→力對物體做的功WF→=F→·s→=0.8F→（v0t+12a→水平t2）-0.6F→（12a→垂直t2）.

∴WF→=0.8F→v0t+0.4F→mt2-0.6F→12·mg-0.6F→mt2，

重力做功

W重力=m（-g）（-h）=m（-g）·-12·mg-0.6F→mt2=12g（mg-0.6F→）t2（0≤h≤H）

2.對圓周運動的物體做的功的計算

功是能量改變的量度，所以了解功就了解了能的變化.在物體做非勻速圓周運動的過程中，如果我們能求出外力對物體所做的功的最大、最小值，對于我們了解物體能量的變化是很有幫助的.

圖 2例2 如圖2，一個質量為m的物體系在一根桿上從A點逆時針圓周運動，運動的軌跡方程是x2+y2=1，物體受到恒定外力F→，方向與x軸正半軸成143°，問當物體運動到何處時合外力做的功最小？何處合外力做的功最大？最大、最小值分別是多少？

分析 在物體運動的過程中，桿的拉力不做功，

而位移的方向時時刻刻在變化，位移和外力的夾角沒辦法表示出來，

仿照例2的方法，我們先用坐標法寫出功的表達式，

然后通過數學中求最值的方法，求出外力做功的最大、最小值.

解 F→（F→cos143°，F→sin143°）=（-0.8F→，0.6F→），重力G→（0，-mg）.

∵物體在圓 x2+y2=1上運動，

∴可設物體移動到B（cosθ，sinθ），∠BOA=θ，則物體運動的位移為AB（cosθ-1，sinθ），恒力F→做的功

F→·s→=-0.8F→（cosθ-1）+0.6F→sinθ=-0.8F→cosθ+0.6F→sinθ+0.8F→，

重力做的功G→·s→=-mgsinθ，∴外力做的總功：

W=F→·s→+G→·s→

=-0.8F→cosθ+（0.6F→-mg）sinθ+0.8F→

=-0.8F→cosθ-（mg-0.6F→）sinθ+0.8F→

=-（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2sin（θ+φ）+0.8F→

其中tanφ=0.8F→mg-0.6F→，即φ是一個已知角.

當∠BOA=θ滿足sin（θ+φ）=-1時，外力對物體做功最大，最大值為0.8F→+（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2

當∠BOA=θ滿足sin（θ+φ）=1時，外力對物體做功最小，最小值為0.8F→-（0.8F→）2+（mg-0.6F→）2.

3.對橢圓形運動軌跡的物體所做的瞬時功率的計算

關于萬有引力做功問題已有一般的結論（如一般的大學物理書中都能找到），但對于物體運動到任意位置的瞬時功率沒有現成的結論，而萬有引力的方向與速度的方向時時刻刻都發生變化，因此想求出任意位置萬有引力對物體做的瞬時功率直接用功率的定義來求非常難，如果我們選擇坐標法，將會使得問題變得非常簡單.

圖 3例3 地球在繞著太陽做橢圓形運動，設地球質量為m，

太陽質量為M，求地球與太陽的距離是r時萬有引力

的瞬時功率.

解 設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），太陽在右焦點位置F1（c，0），橢圓上任一點的坐標為（acosθ，bsinθ），設A為橢圓在x軸上方地球和太陽的距離為r的那個點.

A在橢圓上，可設A（acosθ，bsinθ），r→=AF1=（c-acosθ，-bsinθ），

r2=（acosθ-c）2+b2sin2θ=a2cos2θ-2accosθ+c2+b2sin2θ

=（b2+c2）cos2θ-2accosθ+c2+b2sin2θ=c2cos2θ-2accosθ+a2，

∴c2cos2θ-2accosθ+a2-r2=0.

∴cosθ=a±rc.∵0≤cosθ≤1，∴cosθ=a-rc.

這時，太陽對地球的萬有引力大小為GMmr2，G為萬有引力系數，方向由地球指向太陽，這時太陽與地球的距離為r.設萬有引力的坐標為（x，y），

由矢量三角形和結構三角形相似得xGMmr2=c-acosθr，yGMmr2=-bsinθr（如圖4），

圖 4

∴x=GMm（c-acosθ）r3，y=G-Mmbsinθr3，

萬有引力的F→GMm（c-acosθ）r3，-GMmbsinθr3.

由已知結論（文獻[2]），A點的瞬時速度大小為v→=GMdr2，d為橢圓的半焦弦，v方向是過A點沿著橢圓的切線方向.∵ A在上半橢圓，上半橢圓函數表示式為y=baa2-x2，y′=12·ba·-2xa2-x2=-bxaa2-x2，

∴過A點切線的斜率為k=-abcosθa2sinθ=-bcosθasinθ.

設v→（x′，y′），

圖 5則y′x′=-bcosθasinθ，

x′2+y′2=v→2=GMdr2.

∵A在上半橢圓（如圖5），x′<0，sinθ>0，

cosθ=a-rc，

∴sinθ=-r2+2ar-b2c.

∴x′=-GMdr2·asinθb2cos2θ+a2sin2θ，

y′=GMdr2·bcosθb2cos2θ+a2sin2θ.

當地球在x軸上方運動時，萬有引力的瞬時功率為：

P=F→·v→=xx′+yy′

=-GMm（c-acosθ）r3GMdr2asinθb2cos2θ+a2sin2θ-GMmbsinθr3GMdr2bcosθb2cos2θ+a2sin2θ.

接下來把cosθ=a-rc，sinθ=-r2+2ar-b2c代入可得最后結果.

當A點在x軸上時，即當r=a-c或r=a+c時，F→與v→垂直，功率為0.

易知，由橢圓的對稱性，當A點在橢圓下方的情況和A點在橢圓上方的情況的討論是一樣的，得到的結果也是一樣.

綜上述，當求地球與太陽的距離為r（r≠a+c，r≠a-c）時萬有引力的瞬時功率為：

P=-GMm（c-acosθ）r3GMdr2asinθb2cos2θ+a2sin2θ-GMmbsinθr3GMdr2bcosθb2cos2θ+a2sin2θ，

其中，cosθ=a-rc，sinθ=-r2+2ar-b2c.

當r=a-c或r=a+c時，萬有引力功率為0.

可能很多人會認為這些結果太復雜，很難計算，但大家在以后的學習中會慢慢體會到，數學的應用很多情況下只是提供一個科學的計算方法，具體的計算還要通過把這個思想方法放到計算機上去執行.盡管如此，用數學上的坐標法解決這個問題，比用物理上的功率定義法P=|F||v|cosθ解決這個問題（速度方向與萬有引力的夾角θ是時時刻刻都不同的），還是要方便很多.因此，我們研究坐標法在物理上的運用，具有重要的實際意義.