確定參數范圍的金鑰匙

劉俊蓮

【摘要】確定參數的范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點.由于此類問題綜合性強，且確定參數取值范圍的不等量關系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難.運用數形結合的方法是確定參數范圍的一把金鑰匙.

【關鍵詞】 參數;取值范圍;數形結合

確定參數的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點.由于此類問題綜合性強，且確定參數取值范圍的不等量關系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難.

如何突破這個難點？運用數形結合的方法是確定參數范圍的一把金鑰匙.

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與幾何圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意兩點：第一要弄清所涉及的概念和運算的幾何意義以及圖形的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是需要設參數時，要恰當設參，注意參數的范圍，合理用參，建立聯系，由數思形，以形想數，做好數形轉化.

一、已知函數的單調區間，確定參數范圍

例1 若函數f（x）=13x3-12ax2+（a-1）x+1在區間（1，4）內是減函數，在區間（6，+∞）內是增函數，試求實數a的取值范圍.

分析 這是利用導數研究函數單調性問題.我們可以把函數增減性問題轉化為研究函數的導數的正負問題.

首先求出f′（x）=x2-ax+（a-1），問題就轉化為求二次函數在區間（1，4）內是負數，在區間（6，+∞）內是正數的充要條件，可以借助于一元二次函數的圖像來解決.由x2-ax+（a-1）=0x=1或者x=a-1.由于參數a的存在，要對a進行分類討論.

圖 1因為導函數的圖形開口向上，所以

當a-1≤1時，與x軸交點的橫坐標a-1在1的左側，

導函數的圖像如圖1所示，觀察發現導函數在

區間（1，4）內是正數.說明原函數是增函數，

這與題意不符.

同理，當1

當4≤a-1≤6時，

與x軸另一個交點的橫坐標a-1在4與6之間，導函數在區間（1，4）內是恒小于0的.而在區間（6，+∞）內恒是正數.這說明原函數在區間（1，4）內是減函數，在區間（6，+∞）內是增函數，符合題意.

當a-1>6時，導函數的圖像與x軸另一個交點的橫坐標a-1在6的右側，導函數在區間（1，4）內是恒小于0的，但是在區間（6，+∞）內并不是恒大于0的.這說明原函數在區間（6，+∞）內不一定是增函數.這與題意不符.

綜上討論，原函數只有當4≤a-1≤6時符合題意.

解得實數a的范圍為[5，7].

二、已知兩條曲線的位置關系確定參數范圍

圖 2例2 曲線y=1+4-x2 （-2≤x≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，實數k的取值范圍是.

解析 方程y=1+4-x2的曲線為半圓，

y=k（x-2）+4為過定點M（2，4）的直線.如圖2

所示.觀察圖像，直線y=k（x-2）+4位于切線MT

和割線MA之間區域內時，符合題意.由半圓圓心（0，1）到直線y=k（x-2）+4的距離等于

半徑2得：k0-2-1+4k2+1=22k-3k2+1=2

k=512.A-2，1代入方程 y=k（x-2）+4中

得：k=34.故實數k的取值范圍為（512，34].

這道題如果不借助于圖像，根本無法解答.

三、已知不等式在某個區間內恒成立確定參數范圍

圖 3例3 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

分析 若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖像是拋物線，右邊為對數函數，故可以通過圖像求解.

解 設y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖像為圖3所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值.

故loga2>1，a>1，∴1

從以上幾個例子可以看到，如果不借助于函數的圖像，就沒有辦法確定所求參數的范圍.數形結合的方法在確定參數范圍時起到了不可估量的作用.所以確定參數范圍的金鑰匙就是數形結合法.