等速度曲線的某些性質及其應用

劉海明 苗佳晶

【摘要】本文得到了等速度曲線的一些獨特的微分幾何性質，利用這些性質可以簡化微分幾何學教材中關于曲線的正交標架的一些復雜計算.

【關鍵詞】微分幾何;曲率; 等速度曲線

【中圖分類號】O172;O177.91;O189.3

【文獻標識碼】A

【基金項目】牡丹江師范學院省級重點創(chuàng)新預研項目（SY201320）

一、引 言

微分幾何是綜合性大學數學系各專業(yè)的主干課程，也是應用性很強的一門數學課.微分幾何課的目的是使學生學好作為數學基礎的古典微分幾何學內容，為以后進一步學習、研究現代幾何學打好基礎.陳省身先生在他的著作《微分幾何講義》的序言中曾表示未來數學的研究對象必然是流形，而刻畫微分流形的性質需要有堅實的微分幾何學基礎，這從某種程度上充分說明了這門課程的重要性.另一方面，古典微分幾何學實質上就是微積分在幾何學中的應用，從這個層面講，微分幾何課程和高等數學、數學分析等課程之間的聯系非常緊密.

遺憾的是，目前，微分幾何課程在普通本科院校中的被重視程度是不足的，存在著課時量在被削減、師資隊伍不專業(yè)等等一系列問題.基于以上原因，呼吁重新重視微分幾何課程的呼聲不斷.我們從事微分幾何學教學的工作者首當其沖.作為一名授課教師所能做到的是在講授這門課程時適當地調節(jié)和精簡它的教學內容，將一些能夠反映出該門課程重要思想和本質的東西傳授給學生，開闊學生的視野.古典微分幾何學主要包含曲線論和曲面論兩部分內容，本文主要的研究對象是曲線論中的一類特殊的曲線——等速度曲線，得到了這類曲線的一些獨特的微分幾何性質并簡化了微分幾何學教材中關于圓柱螺線的正交標架的計算，原因是圓柱螺線恰好是等速度曲線.

二、等速度曲線的微分幾何性質

這一節(jié)中，主要給出等速度曲線的定義和一些微分幾何性質.

定義1 若曲線r（t）的弧長參數公式為s（t）=1bt+a，則稱r（t）是等速度曲線.其中s（t）是曲線的弧長，a，b為常數.

關于這類曲線，得到了下面的性質：

定理1 若r（t）是等速度曲線，則下列條件等價：

（1）s（t）=1bt+a;（2）s′（t）=r′（t）=1b=常數;

（3）r″（t）∥r¨s ;（4）r′（t）·r″（t）=0.

證明：（1）（2）因為

s（t）=∫tt0r→′（t）dt=a+1bt，

所以s′（t）=r′（t）=1b（常數）.

（2）（3）因為r′（t）=常數=1b ，

所以s（t）=∫tt0r′（t）dt=1bt+a.

又因為

r′（t）=r·dsdt=1br·，

r→″（t）=1br¨dsdr=1b2r¨，

所以 r′（t）∥r→·s ， r″（t）∥r¨s.

（3）4 因為r·s⊥r¨s，r′（t）∥r·s ，r″（t）∥r¨s，

所以r′（t）⊥r″（t），所以 r′（t）·r″（t）=0.

4（1）因為 r′（t）·r→″（t）=0，r′（t）=r·dsdt，

r″（t）=r¨dsdt2+r·d2sdt2，（1）

所以r·s⊥r″（t）.

又r·s⊥r¨s，r″（t）與r¨s共面，

所以r¨s∥r″（t）.

由（1）知d2sdt2=0，所以 dsdt=1b（常數）.

所以 s（t）=1bt+a.

所以曲線是等速度曲線，證必.

下面可以得到等速度曲線的三個基本向量的簡化公式，這主要體現在副法向量的計算中.

定理2 等速度曲線的三個基本向量分別為：

α=r′（t）r′（t），β=r″（t）r″（t），γ=br′（t）×r″（t）r″（t）.

證明：因為r′（t）=r·dsdt，

所以 α=r·r=r′（t）r′（t）=br′（t）.

又由定理1知r¨s∥r″（t），

所以β=r¨sr¨s=r″（t）r″（t），

所以γ=α×β=r′（t）×r″（t）r′（t）r″（t） =br′（t）×r″（t）r″（t）.

定理3 等速度曲線的曲率k（t）=b2r′′（t）.

證明：因為 s（t）=1bt+a，

所以k=r¨=r″/dsdt2 =b2r″（t）.

三、教學應用

如果曲線是等速度曲線，那么我們可以用r″r″代替β，從而使求解的相關問題簡化.下面的例子來自于微分幾何學教材[1].

例 求螺線x=cost，y=sint，z=t在點（1，0，0）的切線、法平面、副法線、密切平面、主法線及從切平面的方程及基本向量α，β，γ.

這個問題的解答過程中，其主法向量β的計算比較復雜，這里我們可以證明螺旋線

x=cost，y=sint，z=t

是等速度曲線.這樣，利用定理1的結論知，它的主法向量β=r″（t）r″（t）.

僅以求點1，0，0處的主法向量β為例，應用上述結論，只需求出

r″（t）=-cost，-sint，0，r″0=1，0，0，從而求出β=r″0r→″0=1，0，0，

避免了教材中復雜的計算過程.

【參考文獻】

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].3版.北京：高等教育出版社，2003：80-148.

[2]杜卡莫，田疇，等譯.曲線與曲面的微分幾何[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005：98-101.

[3]苗佳晶，劉海明.一元函數的極值及其奇異性[J].高等數學研究，2011，14（1）：26-28.

[4]陳省身，陳維桓.微分幾何講義[M].北京：北京大學出版社，1983.