利用范德蒙行列式計算行列式

李靜

【摘要】行列式在高等代數中占有重要的地位，它是線性方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎.而行列式的計算具有一定的規律性和技巧性，其中范德蒙行列式以其獨特的性質令人矚目，在行列式的計算中，我們常用各種方法將非范德蒙行列式轉化成范德蒙行列式進行計算，本文歸納闡述了其中三種常用但不易掌握的方法，并通過一些例題來演示這些方法.

【關鍵詞】范德蒙行列式;行列式計算;乘法規則;升階法;拉普拉斯展開

在線性代數理論中，范德蒙行列式構造獨特、形式優美，更由于它有廣泛的應用，因而成為一個著名的行列式.正是由于這樣，我們常在行列式的計算過程中， 利用各種方法將一些非范德蒙行列式轉化成范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的結論，把它們計算出來.

本文將先列舉出利用范德蒙行列式的結論計算行列式的一般方法，而后本文歸納出了另外三種常用的將所求行列式轉化為范德蒙行列式計算的方法，這些是行列式計算過程中不易掌握的方法，本文將通過一些例題來演示這些方法.

這三種方法分別是：利用乘法規則將所求行列式分解為含范德蒙行列式的形式進行計算、用升階法將所求行列式轉化為范德蒙行列式進行計算以及用拉普拉斯展開將所求行列式轉化為范德蒙行列式進行計算.

一、范德蒙行列式

范德蒙行列式的形狀為：

Dn=111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=∏1≤j

二、利用范德蒙行列式計算行列式

將所求行列式化為范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的結果計算所要求的行列式，是計算某些行列式很好的方法.常見的化法為：所給行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次冪，但其冪次數的排列與范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性質（如提取公因式，調換各行（或各列） 的次序、拆項等，將行列式化為范德蒙行列式.

例1 計算行列式：

D=x1x1-1x1x21…xn-11

x2x2-1x2x22…xn-12

xnxn-1xnx2n…xn-1n.

解 從第i行提出xixi-1 （ i=1，2，…，n） ，然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3列……第n-1列加到第n列，就得到范德蒙行列式，于是：D=∏ni=1xixi-1∏1≤j

例2 計算n+1階行列式：

D=（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

2n-12n-2…n2n

11…11.

解 將第n+1行依次與上行交換到第1行，第n行依次交換到第2行 ……第2行與第1行交換，于是共經過n+n-1+n-2+…+2+1=n（n+1）/2 次行的交換，得到：

D=（-1）n（n+1）211…11

2n-12n-2…n2n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n =（-1）n1！2！…n！.

三、利用范德蒙行列式計算行列式的三種不易掌握的方法

1.利用乘法規則將行列式分解為含范德蒙行列式的形式

引理：行列式乘法

設D1=a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann，D2=b11b12…b1n

b21b22…b2n

bn1bn2…bnn，

則D1D2=c11c12…c1n

c21c22…c2n

cn1cn2…cnn.

其中 cij是D1的第i 行的元素分別與D2的第j 列的對應元素乘積之和：

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.

例如，我們把D1中的元素具體取值，令

D3=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01.

那么D3與D的乘積為：

D3·D=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01·D=

111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=

1+2a11+2a21+2a3…1+2an-11+2an

a1+2a21a2+2a22a3+2a23…an-1+2a2n-1an+2a2n

a21+2a31a22+2a32a23+2a33…a2n-1+2a3n-1a2n+2a3n

an-21+2an-11an-22+2an-12an-23+2an-13…an-2n-1+2an-1n-1an-2n+2an-1n

2+an-112+an-122+an-13…2+an-1n-12+an-1n

=D4.

行列式D4是有規律的行列式，如果要計算行列式D4的值，那么可把D4分解成為D3與D 的乘積，行列式D3的值很容易計算得D3=1+（-1）n+1·2n，范德蒙行列式D的值可由（1） 計算.于是D4 的值可以求得： D4=[1+（-1）n+1·2n]×∏1≤j，i≤n（ai-aj）.

例3 計算行列式：

D=（a0-b0）n（a0-b1）n…（a0-bn）n

（a1-b0）n（a1-b1）n…（a1-bn）n

（an-b0）n（an-b1）n…（an-bn）n.

解 在此行列式中，每一個元素都可以利用二項式定理展開，從而變成乘積的和.根據行列式的乘法規則， D =D1·D2.

其中 D1=C0nC1na0…Cnnan0

C0nC1na1…Cnnan1

C0nC1nan…Cnnann.

D2=bn0bn1…bnn

bn-10bn-11…bn-1n

11…1.

對D2 進行例1中的行的交換，就得到范德蒙行列式，于是：

D=D1·D2=C1nC2n…Cnn1a0…an0

1a1…an1

1an…ann·（-1）n（n+1）2·

11…1

b0b1…bn

bn0bn1…bnn

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

2.用升階法將所求行列式化為范德蒙行列式

所給的行列式若各行（或列） 元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可利用升階法將其轉化為范德蒙行列式再求解.

例4 計算n 階行列式：

D=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1xnx2n…xn-2nxnn.

解 將D 升階為下面的n + 1 階行列式：

Δn+1=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1

1xn

xx2n

x2…

…xn-2n

xn-2xnn

xn-1xn1

xn2

xnn-1

xnn

xn.

即插入一行與一列，使Δn +1是關于x1，x2，…，xn的n+1 階范德蒙行列式， 此處x是變數.于是Δn+1=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）∏1≤j

另一方面，將Δn+1按其第n+1行展開，即得 Δn+1=∏1≤j

比較Δn+1中關于xn-1的系數，即得 D=（x1+x2+…+xn）∏1≤j

例5 計算行列式：

D=11…1

x21x22…x2n

x31x32…x3n

xn1xn2…xnn.

解 作n+1階行列式：

Dn+1=111…1

zx1x2…xn

z2x21x22…x2n

z3x31x32…x3n

znxn1xn2…xnn =∏ni=1（xi-z）∏l≤k

由所作行列式可知z的系數為-D，而由上式可知z的系數為：（-1）2n-1x1x2…xn∑1i=11xi∏n≥j>k≥l（xj-xk）.

通過比較系數得： D=x1x2…xn（∑1i=11xi）∏n≥j>k≥l（xj-xk）

3.用拉普拉斯展開將所求行列式化為范德蒙行列式

用拉普拉斯展開公式 D=M1A1+M2A2+…+MtAt 將所給行列式轉化為范德蒙行列式來計算.

例6 計算行列式：

D=10x10…xn-110

010y1…0yn-11

10x20…xn-120

010y2…0yn-12

10xn0…xn-1n0

010yn…0yn-1n.

解 取第1，3，…，2n-1行，第1，3，…，2n-1列展開得：

D=1x1…xn-11

1x2…xn-12

1xn…xn-1n1y1…yn-11

1y2…yn-12

1yn…yn-1n =∏n≥j>i≥l（xj-xi）（yj-yi）.

【參考文獻】

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