線性非齊次常系數微分方程待定系數法的嚴格證明及其解的有界性討論

尹伯亞

【摘要】大多數書本在待定系數法這個很重要很好用的方法上沒有給出非常嚴格的證明，以特殊情況達到更容易理解的目的，本人這里給出一個嚴格的證明.以一個簡單的問題引出滿足一定條件的線性非齊次常系數微分方程有界性的證明.本文為純數學推導，無任何參考文獻，旨在解決在學習過程中出現的問題和對遇到的有趣問題進行延伸.

【關鍵詞】待定系數法;引例;有界性

1.

待定系數法的嚴格證明

考慮方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=（b0+b1t+b2t2+…+bmtm）est.

L[x]=dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx.

將x=yest代入，可得

dixdti=∑ik=0Ckiyi-kestsk（i=1，2，…，n）.

兩邊eat約掉，以下這里不再考慮est，

作和∑ni=0aidixdti.

我們考慮y（i）（i=0，1，2，…，n）的系數，

至少dkxdtk（k≥i）才有可能產生y（i）.可得系數

Ji=∑nk=iCikan-isk-i=1i！∑nk=ik?。╧-i）！an-ksk-i（a0=1，0！=1）.

Jndnydtn+Jn-1dn-1ydtn-1+Jn-2dn-2ydtn-2+…+J1dydt+J0y=b0+b1t+b2t2+…+bmtm.

考慮dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…an-1dxdt+anx的特征多項式：

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+a.

通過求導可以發現特征多項式的i階導就是i！Ji其中將λ換成指數系數s.

i重根滿足f（k）=0（k=1，2，…，i-1），f（i）≠0.

若s是特征方程的i重根，則Jk=0（i=0，1，…，i-1），Ji≠0.

y=φ（t）=tl（d0+d1t+d2t2+……+dmtm）.

顯然只有滿足l=i，才能使等式兩邊可能相等

而又由x=yest，

則可假設x=ti（d0+d1t+d2t2+…+dmtm）est.

x代入初始方程兩邊相等便可列出等價方程，此方程一定可解出di（i=0，1，…，m），這樣我們便完整地證明了線性非齊次常系數方程待定系數法求特解的方法.

2.滿足一定條件的微分方程有界性引例

給定方程x″+8x+7=q（t），已知q（t）在0≤x≤+∞連續，

（1）若q（t）在0≤x≤+∞上有界，則此方程的每一個解在0≤x<+∞上有界.

（2）若limt→+∞q（t）=0，則此方程每一個解x（t）都有limt→+∞x（t）=0.

（1）解：可列出特征方程λ2+8λ+7=0，

得λ1=-1，λ2=-7.

∴相應的線性齊次方程的解為C1e-t+C2e-7t（C1，C2為任意常數）.

由常數變異法取x=C1（t）e-t+C2（t）e-7t（*）.

C′1（t）e-t+C′2（t）e-7t=0，

-C′1（t）e-t-7C′2（t）e-7t=q（t）.

其系數行列式為e-te-7t

-e-t-7e-7t

將e-t和e-7t提出，則行列式為e-8t11

-1-7=-6e-8t

由cramer法則

C′1（t）=0e-7t

p（t）-7e-7t/（-6e-8t）=e-7tp（t）6e-8t=etp（t）6.

先只考慮C1（t），

可取C′1（t）的特殊積分∫t0etp（t）6dt作為C1（t）.

代回（*）中，

考慮I=e-t∫t0etp（t）6dt的有界性，

由于p（t）有界，不妨設p（t）<6M，

則

I

則I有界.

同理可證C2（t）e-7t有界.

由常數變異法可知（*）為一特解，則這一特解有界

可得方程任一解均可表示為

x=（*）+C1e-t+C2e-7t.

顯然x在（0，+∞）有界.

（2）解：同題（1）中可以得到方程的解為（*）+C1e-t+C2e-7t.

顯然對任一C1，C2，C1e-t+C2e-7t均是趨于無窮極限為零的.

那么就只需討論（*）的極限.

同樣我們先考慮可取C′1（t）的特殊積分∫t0etp（t）6dt作為C1（t），

I=e-t∫t0etp（t）6dt的極限.

∵limt→+∞q（t）=0，

∴對6ε>0，總N>0，t>N時，q（t）<6ε

由于t總會趨于無窮，不妨取t>N.

I=∫N0etp（t）6dtet+∫tNetp（t）6dtet=I1+I2.

顯然定積分是常數對I1取t→+∞極限為0.

I2<ε∫tNetdtet=ε1-eNet<ε.

這樣就證明了I取t→+∞時極限為0.

同理可證C2（t）e-7t極限為0.

x=（*）+C1e-t+C2e-7t，任一確定的C1，C2，limt→∞x（t）=0.

3.滿足一定條件的微分方程有界性說明分析證明

經過引例的證明，可以發現引例的方程的特征多項式的解均為負實值.

不妨設一微分方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=p（t）的特征多項式的解為b1，b2，…，bn均為負實值且互不相同，p（t）在（0，+∞）上有界來討論其解的有界性.

證：顯然方程對應的齊次方程的解為：

C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt.

與引例同樣，根據常數變異法：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt（*）.

可列出方程：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt=0

b1C′1（t）eb1t+b2C′2（t）eb2t+…+bnCn′（t）ebnt=0

……

b1n-1C′1（t）eb1t+b2n-1C′2（t）eb2t+…+

bnn-1Cn′（t）ebnt=p（t）

可得系數行列式

J=eb1teb2t…ebnt

b1eb1tb2eb2t…bnebnt

b1n-1eb1tb2n-1eb2t……bnn-1ebnt

=e（b1+b2+…+bn）t11…1

b1b2…bn

bn-11bn-12…bn-1n

=e（b1+b2+……+bn）t∏1≤i

這里也先只考慮C1（t），

通過cramer法則，可以解得：

C′1（t）=0eb2t…ebnt

0b2eb2t…bnebnt

p（t）b2n-1eb2t……bnn-1ebnt/J

=（-1）np（t）e（b2+b3+…+bn）t∏2≤i

=（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）

同樣取C1（t）=∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt.

p（t）有界，則取p（t）

這樣就得到C1（t）eb1t≤eb1t∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt

同理可證Ci（t）ebit（i=2，3，…，n）有界.

又方程的解x=*+C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt，

顯然Ciebit（i=1，2，3，…，n）在（0，+∞）有界.

∴方程的任一解x均在（0，+∞）有界.

這樣就證得了滿足一定條件的微分方程的有界性.

當limt→+∞p（t）=0時，方程解x的極限limt→+∞x（t）=0也可仿照引例的方法證明，這里不再贅述.

【參考文獻】

[1]周義倉，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應用.科學出版社.