淺議類比推理

王斌瑜

【摘要】高中數學新課程已將“類比推理”能力的培養作為課程的目標之一，但教材只在理科選修2-2（文科選修1-2）中提及了下，并沒有深入地探討和研究.“類比”是發現概念、方法、公式和定理的重要手段，也是開拓新領域和創造新問題的重要手段;“推理”能力則是我們培養學生思維的重要目標.因此需要我們教師挖掘教材內涵，在平時的教學中滲透“類比推理”的思想，努力培養學生運用類比法進行推理的能力，使他們的思維更具創造力.

【關鍵詞】類比思想;類比推理

類比推理：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似性或相同，推演出它們在其他方面也有相似或相同.像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法.類比推理的思維過程大致如下：

觀察、比較→聯想、類推→猜測新的結論

這里猜測的新的結論可以正確，也可以是錯誤的.實際上，類比是產生了一個新的命題，它可真可假，需要我們從原命題入手去思考和研究.德國數學家、天文學家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的.”我們不妨來回顧下我們高中學習的幾何學知識.

以點到面，類比猜想

正如波利亞在其《怎樣解題》中所闡述的一般化思想：“一般化就是從考慮一個對象，過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小的集合的更大集合.”蘇教版高中數學教材之選修1-2（文科）P35頁例2：試將平面上的圓與空間中的球進行類比.并得出下面的一些結論：

圓的性質

球的性質

圓心與弦（不是直徑）的中點的連線垂直于弦

球心與截面圓（不是大圓）的圓心的連線垂直于截面圓

與圓心距離相等的兩弦的長相等;與圓心距離不等的兩弦的長不等，距圓心較近的弦較長

與球心距離相等的兩截面圓的面積相等;與球心距離不等的兩截面圓的面積不等，距球心較近的截面圓的面積較大

圓的切線垂直于經過切點的半徑;經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

球的切面垂直于經過切點的半徑;經過球心且垂直于切面的直線必經過切點

經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

經過切點且垂直于切面的直線必經過球心

要驗證這幾個結論并不難，我們要思考的是為什么類比到這樣幾個結論.讓我們再次看下類比推理的定義和思維過程，發現圓和球的定義構成是一樣的（這是類比的基礎），不一樣的只是維數.因而產生了：弦截面圓，直徑大圓，周長表面積，圓面積球體積的類比，可以看成是不同維數（圓是二維球是三維）之間的類比.當然這樣的類比方法也適用于平面幾何和空間立體幾何之間的類比，如：平面上的平行直線的傳遞性a∥b，b∥ca∥c可以類比到空間的平行平面的傳遞性α∥β，β∥γα∥γ，用面積法求三角形的內切圓半徑到用體積法求三棱錐的內切球半徑……

追本溯源，合理猜測論證

除了二維和三維的類比，我們也能進行同維度的類比，如我們所熟悉的解析幾何中的圓和橢圓.

圓

橢圓

標準方程

x2r2+y2r2=1（r>0）

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

參數方程

x=rcosθ，y=rsinθ

①x=acosθ，y=bsinθ

曲線上一點

P（x0，y0）處

的切線方程

Ⅱ：x0xr2+y0yr2=（r>0）

②

面積

S=πr2

③

一個性質

任意一直徑所對的角為

直角

④

為了便于研究筆者將圓的標準方程改寫成x2r2+y2r2=1（r>0），顯然我們能夠得出橢圓的參數方程①并驗證它是正確的，我們發現兩者的標準方程（代數結構）x2r2+y2r2=1（r>0）x2a2+y2b2=1（a>b>0）非常相似（兩個r分別被a，b取代），這是結論①的基礎.同樣道理，我們不難猜測出②處的結論是x0xa2+y0yb2=1（a>b>0）.但當我們回頭看Ⅱ時，我們第一個反應是利用“切點和圓心的連線垂直于切線”這個結論去證明，而同樣的結論對于橢圓來說是不成立的.那么是否說明②處的結論是錯誤的呢？此時我們需要追本溯源，再來剖析一下結論Ⅱ的基礎：在代數結構上相似.而上面嘗試的是一個幾何的證法，那么讓我們回到代數法上來（用判別式Δ證明）呢？考慮到代數式上的相似性，以及r，a，b都是參數，不妨將命題改為：曲線mx2+ny2=1（mn≠0）在其上一點P（x0，y0）處的切線方程為mxx0+nyy0=1（mn≠0）.（聯立使用“Δ=0”證明過程略）到這里為止筆者覺得要想去判定新命題的真假，有必要再去思考下我們一開始給出的“類比推理”的大致思維過程的第一步“觀察、比較”的意義.

不難猜測③處的結論：S=πab.面積這個概念顯然是一個幾何的概念，那么這個結論是否正確呢？有了上面的經驗，我們會去找圓的面積是如何得到的.事實上圓和橢圓都是封閉的圖形，它們的面積要使用微積分中的積分運算，并且橢圓的面積就是S=πab.我們也能逆運用概率的知識大致求出橢圓的面積，參見蘇教版高中數學教材之必修3P101例1.

④處可能會產生結論（⊙）：過橢圓中心的弦所對的角為直角，但取其為長軸，顯然不是直角.當然這也是一種類比，只是得到了一個假命題.如果我們繼續追本溯源，從代數的角度去描述“直角”這個幾何概念：“圓的任一直徑AB，P為除AB外的任意一點，則kPA·kPB=-1=-r2r2.”那么④處的又一結論就呼之欲出了：“橢圓上任一過對稱中心O的弦AB，P為除AB外的任意一點，則kPA·kPB=-b2a2.”2011年江蘇高考第18題第（3）小問用這個結論解就會事半功倍.

三、類比延伸，獲得“再發現”

波利亞指出：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數學還是高等數學中，甚至在其他任何領域中，本來可以發現的東西，也無從發現.”圓和橢圓除了在其標準方程類似之外，其在幾何形狀和定義上也相似.

圓：平面上到一個定點的距離為定值的所有點組成的圖形叫圓.

橢圓：平面上到兩個定點的距離之和為定值（大于兩個定點的距離）的所有點組成的圖形叫橢圓.

如果我們將橢圓的定義（到兩個定點的距離之和）看成是圓（一個定點的距離）的延伸，那么不妨延伸類比再完整一些，看看我們會得到些什么？

（一）平面上到兩個定點的距離之差為定值（小于兩個定點的距離）的所有點組成的圖形叫雙曲線.

（二）平面上到兩個定點的距離之比為定值λ（λ>0） 的所有點組成的圖形呢？

答：當λ=1時，為兩定點的中垂線;當λ≠1時，為圓（建系、立式、化簡可得）.

（三）平面上到兩個定點的距離之積為定值λ（λ>0） 的所有點組成的圖形呢？雖然這不在我們高中解析幾何的學習范疇，但顯然有其探討的必要性.

如果再將點改成線又會得到些什么呢？這個時候，圓錐曲線的統一定義就躍然紙上了：“平面上到一個定點的距離與到一條定直線（不過定點）的距離之比為定值的點組成的圖形為圓錐曲線（具體由定值的范圍確定）.”順次我們還能產生類似的問題：

（四）平面上到一個定點的距離與到一條定直線（不過定點）的距離之和為定值的點組成的圖形是什么？

（五）平面上到一個定點的距離與到一條定直線（不過定點）的距離之差為定值的點組成的圖形是什么？

（六）平面上到一個定點的距離與到一條定直線（不過定點）的距離之積為定值的點組成的圖形是什么？

（七）平面上到兩條定直線的距離之和為定值的點組成的圖形是什么？

（八）平面上到兩條定直線的距離之差為定值的點組成的圖形是什么？

（九）平面上到兩條定直線的距離之積為定值的點組成的圖形是什么？

（十）平面上到兩條定直線的距離之比為定值的點組成的圖形是什么？

可能上面的幾個問題，我們并不能一一給出解答，但是有時候發現問題比解決問題更重要.正如愛因斯坦曾說過：“提出（發現）一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題或許只是一個數學上或實驗上的技巧問題.而提出新的問題、新的可能性問題是最好的老師……”

總之，在我們平時的學習與生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法.在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑.學生在數學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力滲透和培養類比推理的能力，使他們的思維更具活力和創造力.