關于正四面體的“點點滴滴”

張永純

【摘要】正四面體是一種簡單、對稱的多面體，由于它的各條棱都相等，所以有十分多的性質，也正因為它的特殊性，正四面體也成為歷年高考的重點考查內容.關于正四面體的計算很復雜，牽扯到空間與平面，如果掌握了一些基本的性質和正四面體的有關數據，這會大大減少計算量，增加了正確的可能性.下面我會為大家介紹一些關于正四面體的基本定義、基本性質、基本性質的有關推導、典型例題的解法.

【關鍵詞】正四面體;基本性質;例題講解;證明

一、正四面體的基本定義

正四面體是由四個完全相同的正三角形組成的空間封閉圖形，它有四個面、四個頂點、六條棱，并且所有的棱長都相等，正四面體是最簡單的正多面體.由于正四面體又符合正三棱錐的性質，所以它又是正三棱錐，但它又很特殊，正三棱錐要求底面為正三角形，其余三個面是等腰三角形即可，所以說正四面體是特殊的正三棱錐.

二、正四面體的基本性質

1.正四面體的重心，外接球、內切球的球心，四條高的交點為一個點，這個點就稱為中心.

2.正四面體的對邊相互垂直.

3.正四面體有七個與四個面都相切的旁切球和一個在其內部的內切球，其中有三個旁切球球心在無窮遠處.

4.正四面體的體積等于相應的正方體體積的13，正四面體的高等于相應的正方體體對角線的23.

5.若某個正四面體的棱長為L，則正四面體的全面積S=L2，體積V=L312.

6.正四面體對棱中點連線的長D=a2.

7.正四面體的內切球半徑V=/12，外接球半徑R=/4.

8.每個四面體都有內切球，球心O是四面體的各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于球半徑.正四面體的內切球的半徑是正四面體中心與正四面體的面中心的連線段.

9.每個正四面體都有外接球，也是正四面體外接正方體的外接球，故該外接球的直徑就是正方體的體對角線，也即外接球的半徑等于正方體體對角線的一半.每個四面體外接球的球心O是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點距離等于球半徑.

10.正四面體的高為正方體對角線長的三分之二.

11.正四面體的高為a3（正四面體的棱長為a），中心點將高分為1∶3兩部分.

12.對棱中點的連線段長為棱長的12.

三、基本性質的有關推導

1.正四面體的相對棱的兩條異面直線垂直

證明：過點S在面SBC上作SE垂直于BC，同時E也是BC的中點，連接AE，可證AE垂直于，可證BC垂直于面AES，所以BC垂直于AS，即對棱垂直.同理也可以證明出其他幾組對棱垂直.

2.設正四面體的邊長為a，則對棱的中點是這兩條棱的公垂線且長為/2.

證明：設E，F分別為AS，BC的中點，連接EF，則SF，AF相等且值為/2，E為AS的中點，可推出EF垂直于AS，同理可證EF垂直于BC，所以EF為AS，BC的公垂線，所以SF=/2，SE=a2，可根據勾股定理知EF=a2.

3.相鄰的兩個面的二面角相等且余弦值為13.

證明：此余弦值可用射影面積法求.cosA=S射影S側面=S三角形AOBS三角形ASB=S三角形ABC3S三角形SAB=13.

4.同樣設正方體的棱長為a，正四面體的外接球的半徑與正四面體的棱長的關系是：R=a4.

證明：設AS，BC的中點分別為E，D，連接DE，則DE為AS，BC的公垂線，且與高SO的交點O′是外接球的球心，連接AO′，AD.在直角三角形ADE中，由于AD=a2，AE=a2，可知DE=a2，所以EO′=a4，由勾股定理得，外接球的半徑R=AO′=a4.

四、典型例題的基本解法

例1 已知一個正三棱錐S-ABC的側棱與底面邊長相等，如果E，F分別是SC，AB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角為（ ）.

A.90° B.60° C.45° D.30°

解析 由題目“側棱與底面邊長相等”可知，S-ABC為正四面體，這個正四面體可以補成一個正方體，這時，EF在正方體的兩底面的中心連線上，與正方體的側棱SD平行，因為∠ASD=45°，所以選C.注意這種題目最好畫圖，可以幫助分析.

例2 棱長為2的正四面體的體積為（ ）.

解析 可能大家看到這個題，一般做法就是畫出圖形，然后一點一點計算，但是如果你掌握了正四面體的有關性質，那么計算起來就簡單了很多，最典型的做法就是將其補成一個正方體，這樣就會簡化很多，這樣正方體的棱長就可以求出來，從而求出正方體的體積，這樣正四面體的體積就可以求出來了.這種方法要比單純計算簡單很多.

五、小 結

在解有關正四面體的題目時，要記得將正四面體與正方體、球結合起來，運用有關知識，記住以上基本性質與有關數據，就能快速且正確地解出有關題目，這樣既節省了時間，也增加了準確率.