直線與平面平行的幾種常見模型

張占兵

沒有對知識點的記憶，就很難形成邏輯的思維與結構.

立體幾何中的直線和平面的平行關系，作為平行關系的核心，是學習立體幾何推理論證的開始，也是研究空間特殊位置關系的一個重要方面，學生在學習過程中感到比較困難的是如何構造圖形（作輔助線），尋求“線線平行”與“線面平行”的相互轉化.為了使學生能夠盡快學會“用圖形語言進行交流”，我們可以在學生有了一定的感官認識的基礎上，給學生總結出幾種常見的模型，要求學生連同“直線與平面平行的判定定理和性質定理”一起記住，在處理相關問題時，最初可以先學會對號入座，符合哪一種模型就模擬哪一種進行構圖、推理.經過訓練，學生就能更快地學會、理解、掌握空間幾何中的推理論證方法.

總結平行關系中的構圖方法和證明方法，我們會發現，最有代表性的是以下四種模型：

模型一 如圖1（為便于區別，圖1、圖2、圖3把新作出或尋找到的線畫成虛線），已知：線段EA交平面α于點B，B為EA的中點，要證EF∥平面α，只需連接AF交平面α于點C，考查BC與EF是否平行.顯然，證明點C是線段AF的中點，則BC就是三角形AEF的中位線，就有BC∥EF，利用直線與平面平行的判定定理即可得到結論.

圖 1

例1 如圖1-1，已知：在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點E是PD的中點.求證：PB∥平面EAC.

圖1-1 圖1-2 圖1-3

分析 觀察圖形，結合已知條件，可以看到，在線段PB與平面EAC之間的諸多聯系中，最為特殊、與已知條件聯系比較緊密的是線段PED，注意到PD交平面EAC于點E且點E是PD的中點，聯系PB，PD與平面EAC的位置關系，不難發現：只要找出線段BD的中點即可，符合模型一.故連接BD交AC于點O，連接EO（如圖1-2），只要證明EO∥PB問題就迎刃而解.（證明略）

評析 觀察圖形時，尤其要關注一些特殊的部位，平行問題中，找（作）平面內的直線與平面外的直線平行的依據是直線與平面平行的判定定理，找線段中點，構造三角形中位線來解決是個好途徑好方法，同時如果在分析問題過程中把考察的對象從空間圖形中“抽取”出來（所要考察的直線和平面，本例如圖1-3），注意它們之間的聯系，局部分析，整體考慮，那么更容易對號入座，尋求方法.

模型二 如圖2，已知：平面α外一點A及平面α內一點B，E為線段AB的中點，要證EF∥平面α，只需連接AF并延長交平面α于點C，考查EF與BC是否平行.顯然，證明點F是線段AC的中點，則EF就是三角形ABC的中位線，就有BC∥EF，利用直線與平面平行的判定定理即可得到結論.

圖 2

例2 如圖2-1，已知有公共邊AB的兩個平行四邊形ABCD和ABEF不在同一平面上，P，Q分別是對角線AE和BD的中點.求證：PQ∥平面EBC.

圖2-1 圖2-2 圖2-3

分析 觀察圖形，在經過點P或點Q的所有線段中，線段APE與平面EBC的關系恰好符合模型二的特征，結合平行四邊形的性質，連接AC（如圖2-2），因為點Q是平行四邊形ABCD的對角線BD的中點，所以點Q在AC上且為AC的中點，故PQ是三角形AEC的中位線，問題得以解決.（證明略）

評析 和模型一相比，模型二也利用了尋找中點構造三角形中位線的方法解決問題，但二者之間還是有著微妙的差異的.例2在分析過程中如果把所考察的直線和平面從復雜的原圖形中“抽”出來（如圖2-3），就能很清楚地看出如何添加輔助線，從而使問題迎刃而解.從復雜圖形中“抽”出我們的研究對象，使問題的特征更凸顯更直觀，是分析空間問題的一個有效的技巧和方法.

模型三 如圖3，已知：平面α外的一條線段EF，A為平面α內一點，要證EF∥平面α，只需過點F作FB∥EA交平面α于點B，判斷四邊形ABFE是否是平行四邊形.事實上，在四邊形ABFE中，已經有FB∥EA，只需證明FB=EA就可以了.

圖 3

例3 如圖3-1，已知：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別是DD′，BC′的中點，求證：MN∥平面ABCD.

圖3-1 圖3-2 圖3-3

分析 觀察圖形，結合正方體的特征，注意線段MN與平面ABCD的關系，可以發現MD是它們之間比較好的一個聯系，線段的中點又是一個非常有效的分析問題的著手點，顯然符合模型三的特征，所以只需取BC的中點E，連接NE，DE（如圖3-2），只要能證明MD∥NE且MD=NE，則四邊形MNED是平行四邊形.（證明略）

評析 有些圖形中可能不涉及線段的中點，無法像前兩個模型那樣利用三角形的中位線解決，但我們可以體會到，只要有相同的比例關系，總可以構造出平行線來，方法可以類比，可以遷移.本例雖然有中點出現，也可以利用模型二解決問題：取BC中點為E，連接D′N并延長，交DE延長線于點F，證明MN是三角形D′DF的中位線即可（圖形略）.但是這種方法的圖形擴展到了形外，圖形構造比較復雜，而且證明過程也相對煩瑣.對照模型三，只要“抽”出主要元素（如圖3-3），構圖、證明思路就一目了然.

模型四 如圖4，已知：平面α外的一條線段EF，要證EF∥平面α，尋找過EF的平面β，如果平面α與平面β平行，那么利用“兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面”就可以證明直線EF∥平面α.

圖 4 圖4-1

例4 （同例2，如圖2-1）

分析 再次觀察圖2-1，聯系平面與平面平行的特征，可以看到，只要過PQ構造一個平面與平面EBC平行，利用兩個平面平行的定義就可解決問題，考慮到點P，Q分別是線段AE，BD的中點，所以可以取AB的中點R，連接PR，QR（如圖4-1），很容易能夠證明平面PQR∥平面BEC.（證明略）

評析 1.觀察圖形時，尤其要關注一些特殊的部位，平行問題中，找（作）面內的線與面外的線平行的途徑是取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質等，找中點解決是個好途徑好方法，這是立體幾何論證平行問題，培養邏輯思維能力的重要思想方法，同時要在分析問題過程中把考察的對象從空間圖形中“抽取”出來（所要考察的直線和平面），注意它們之間的聯系，局部分析，整體考慮.

2.一般來說，一組線面平行關系的證明可以用上述若干種模型來證明（比如例2和例4，還可以用模型三的方法解決），具體使用哪一種模型，要考慮證明過程是否簡潔，同時也要考慮是否有利于后續問題的解決.一題多解的變式訓練，多角度考慮問題，變換方法解決問題，有利于培養學生思維的廣闊性和深刻性，有利于提高學生的學習效率.

3.如果已知條件中給出直線和平面平行，一般要利用直線和平面平行的性質定理尋求直線與直線平行，關于線面平行的性質的應用，同樣也可以利用上述四種模型來分析構圖，從而找出“線線平行”.這里限于篇幅，不再舉例說明.

學生在“直線與平面平行”中首次使用空間位置關系的判定與性質進行證明，這是他們學習立體幾何演繹推理論述的思維方式方法的開始，對發展學生的空間概念和邏輯思維能力其重要的基礎作用不可忽視，處理好這部分內容對其他位置關系的研究非常重要，應該引起足夠的重視.在處理問題的過程中，記住模型，把題目中的平行問題和四種模型對號入座，具體分析，關注共性和特性，增加了可操作性，可以幫助學生更好地分析問題和解決問題.對于部分空間想象能力較弱的學生來說，先記模型、套模型，再逐步理解、熟練、靈活使用，最終達到提高能力的目的，也不失為一種比較有效的訓練途徑.要引導學生總結規律，積累解決數學問題的方法，積累數學活動經驗，從而更好地發展學生的合情推理、空間觀念與邏輯推理能力.