用幾何方法分析求解概率問題

劉婧 李奎

【摘要】本文對(duì)幾何概型中常見的兩類典型問題進(jìn)行了研究，在以往結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過設(shè)定參數(shù)，得到參數(shù)的取值范圍與結(jié)果之間的關(guān)系，將此類問題的研究更一般化，并深化了幾何概型的求解技巧，創(chuàng)新了實(shí)際問題中應(yīng)用幾何概型的靈活性和方便性.

【關(guān)鍵詞】幾何概率;數(shù)學(xué)模型;平面區(qū)域;幾何方法

一、引 言

古典概型的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)都是等可能的.但是人們逐漸認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)對(duì)于實(shí)際應(yīng)用是不夠的，現(xiàn)實(shí)生活中還存在大量的“無限等可能”問題.為解決這類問題，后來引入了幾何概型，由此也產(chǎn)生了概率的一種計(jì)算方法——幾何方法.

本文給出了幾個(gè)比較典型的幾何概型問題，通過設(shè)定合適的參數(shù)，利用幾何分析方法，結(jié)合平面和立體圖形的直觀性，找到參數(shù)的取值范圍，使得此類概率問題的求解更加一般化，對(duì)比以往的結(jié)果和方法得到此文的優(yōu)勢(shì)和創(chuàng)新.

二、預(yù)備知識(shí)

幾何概型是一種最基本的數(shù)學(xué)模型，也是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，在概率論中有著相當(dāng)重要的地位.

1.幾何概型的特點(diǎn)

（1）每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè);

（2）每次實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的.

2.“等可能”的意義

設(shè)有限測(cè)度為L(zhǎng)（Ω）的區(qū)域Ω中有任意一個(gè)小區(qū)域A，如果它的測(cè)度為L(zhǎng)（A），則點(diǎn)落入A中的可能性大小與它的測(cè)度成正比，而與A的位置及形狀無關(guān).

3.利用幾何方法確定幾何概型中概率的計(jì)算的基本思想

（1）如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間Ω充滿某個(gè)區(qū)域，其測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積等）大小可以用L（Ω）表示;

（2）任意一點(diǎn)落在測(cè)度相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的;

（3）若事件A為Ω中的某個(gè)子區(qū)域，其測(cè)度大小可以用L（A）表示，則事件A發(fā)生的概率為P（A）=L（A）L（Ω）.

三、主要問題及結(jié)論

問題1 在線段[0，1]上隨機(jī)地投入三個(gè)點(diǎn)，由點(diǎn)O至三點(diǎn)形成三條線段，試分析三點(diǎn)的排布與三條線段構(gòu)成三角形的概率之間的關(guān)系.

解 令A(yù)=“三線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”.

設(shè)任意放入一點(diǎn)的線段長(zhǎng)度為a，其他兩點(diǎn)所形成線段分別為x，y，因此三條線段能構(gòu)成三角形的條件是：x+y>a，x+a>y，y+a>x，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)落入圖示陰影部分時(shí)，三線段能構(gòu)成三角形，此時(shí)應(yīng)用幾何概型計(jì)算公式可得概率為

P（A）=S陰影S正方形=1-12a2-2×12（1-a）21=-32a2+2a.

從結(jié)果中可以看到，三線段構(gòu)成三角形的概率與其中一條線段的長(zhǎng)度有著緊密的聯(lián)系，即點(diǎn)的放法決定了概率的大小，分析如下：

（1）當(dāng)a=23時(shí)，即其中一條線段在23點(diǎn)處，構(gòu)成三角形的概率達(dá)到最大值23;

（2）當(dāng)a=13或a=1時(shí)，構(gòu)成三角形的概率是12;

（3）當(dāng)a=12或a=56時(shí)，構(gòu)成三角形的概率是58;

現(xiàn)實(shí)意義：

（1）要增加構(gòu)成三角形的概率，只需將其中一點(diǎn)放到總長(zhǎng)的23處即可，這時(shí)無論如何放置另外兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成三角形的幾率都是最大的，此方法可以適用于中小學(xué)三角形部分的學(xué)習(xí);

（2）文獻(xiàn)[3，4]的計(jì)算方法是一種特殊情況，此文將以往的結(jié)果一般化，更有實(shí)用價(jià)值;

（3）若要使構(gòu)成三角形的概率大于12，只需將其中一點(diǎn)放置于線段的13，1之間即可.

引例 （Buffon投針問題）平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為d，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l（l

利用引例一般化可以得到如下我們所要研究的問題.

問題2 平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為d，向平面任意投擲一個(gè)凸n邊形，該n邊形的邊長(zhǎng)分別為x1，x2，…，xnxi

解 略.

四、結(jié)束語

幾何概型是一類在可測(cè)集中均勻投點(diǎn)，計(jì)算這些點(diǎn)落在某一區(qū)域的概率問題，好多實(shí)際問題我們又都可以將它用幾何圖形表示出來，而這些幾何圖形的長(zhǎng)度、面積等又能計(jì)算，我們就可以用幾何概率模型進(jìn)行計(jì)算.因此，幾何概率是一種簡(jiǎn)單、直觀的數(shù)學(xué)模型.