談高考中數學中的分類討論思想

謝必燁

分類討論是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略.它體現了化整為零、積零化整的思想與歸類整理的方法，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化.每年高考都有考查分類討論這一數學思想，可以反映考生對分類標準理解的深度，具有一定的探索性，而且分類討論問題綜合性強，能力要求高，思維力度大，內在聯系密切，思維方法靈活，致使很多考生在有關分類討論的題目中失分較多.下面就來介紹分類討論的類型.

一、概念型分類討論

有一些問題所涉及的數學概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0，a=0，a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

例1 關于x的方程x2-12-x2-1+k=0，給出下列四個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根;

②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根;

③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根;

④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

分析 本題中含有參變量k以及絕對值符號，不同取值會導致問題的結論有多種情況或多種不同結果.

解 由題意可設x2-1=t（t≥0）①，則方程化為t2-t+k=0②，作出函數y=x2-1的圖像，結合函數的圖像可知：（1）當t=0或t>1時，方程①有2個不相等的根;（2）當0

二、性質型分類討論

數學中有些問題涉及的數學定理、公式和運算性質、法則等是有范圍或者條件限制，或是分類給出的.如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質型.

例2 已知loga2x+1>loga3-x（a>0且a≠1），則x的取值范圍是 .

分析 由對數函數的性質可知：當a>1時，函數y=logax在0，+∞上是增函數;當0

解 當0

∵loga2x+1>loga3-x，

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1<3-x，解得：-12

當a>1時，函數y=logax在0，+∞上是增函數.

∵loga2x+1>loga3-x

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1>3-x，解得：23

綜上所述，當01時，x的取值范圍是23，3.

三、化歸型分類討論

數學中有些實際問題涉及含有約束條件，通過分類討論，使復雜問題化為簡單問題.這種分類討論題型可以稱為化歸型.

例3 某外語組有9人，每人至少會英語和法語中的一門，其中7人會英語，3人會法語，從中選出會英語和會法語的各1人，有多少種不同的選法？

分析 本問題中要完成一件事是“從9人中選出會英語與法語各1人”，根據已知條件9人中既會英語又會法語只有1人.因此可根據此人是否當選，將選法分為三類：（1）此人不當選;（2）此人按英語當選;（3）此人按法語當選.

解 既會英語又會法語的有7+3-9=1人，僅會英語的有6人，僅會法語的有2人，先分類，后分步.

先從僅會英語或法語的人中各選1人，有6×2種選法;從僅會英語與英語和法語都會的人中各選1人，有6×1種選法;從僅會法語與英語和法語都會的人中各選1人，有2×1種選法.

根據分類計數原理，共有6×2+6×1+2×1=20種不同的選法.

點評 實際問題常見的有排列組合問題、概率統計問題、應用問題等，常常要進行分類討論.求解這類問題的關鍵是抓住題設的條件的特點和問題的特殊性，選擇恰當的分類標準進行分類討論.

總之，分類討論思想在高考解題中的應用非常廣泛.分類討論思想的運用，對我們思維能力、分析能力、知識與方法綜合運用的能力要求較高.我們在分類討論時應該根據題目的特點，適當選擇思考問題的視角，準確識別各種類型，熟練運用各種類型的解決方法.教學中若能注意這方面的訓練，對于優化我們的思維品質，培養我們的創新意識，提高我們的思維能力都是非常有益的.