若干基本定理的新角度證明

李玉龍

【摘要】在本科數學的教學中，高等代數和數學分析是最基本最重要的內容，其中矩陣和微積分的思想是十分絢麗且深刻的思想，能夠深刻地掌握其思想精髓，靈活地運用才是目的.

【關鍵詞】矩陣的秩定理;有限開覆蓋定理;歐拉定理;可數集;隱函數組定理

然而在教學中不是一件容易的事，在本科教學中有好多學生對一些基本定理的理解顯然不足，沒有自己的看法和思路，甚至勉強承認書本中的邏輯式的證明，對定理的本質沒有一點“感覺”，很難轉化為自己的東西.為此在比較了中西方許多教科書之后，針對其中的一些基本定理，擯棄一些傳統的固定模式的證明，從新角度給予闡釋，目的在于把命題的本質“自然”“看得見的”呈現在讀者面前，弄清楚是什么，是怎么回事，一旦明白了本質，證明只是一件簡單嚴格敘述的事情罷了，從而幫助本科生更好地理解學習.

1.矩陣的秩定理

矩陣的行秩和列秩相等.

這是高等代數里非常基本的性質定理之一，大部分教材是通過客觀的證明行秩小于等于列秩，列秩小于等于行秩來證明行秩與列秩相等.我們通過矩陣本身最基本的初等變換，給出一種自然的看法.

讓我們先看看最簡單的一般形式的梯形矩陣吧.

A=0100000000

0001000000

0000001000

0000000100

0000000000（1）

這顯然行秩等于列秩，實際上就是1的個數.那讓我們再看看普通的矩陣：

B=a11……a1n

ami……amn（2）

和梯形矩陣（1）的關系.

很顯然，任何一個矩陣（2）都可以通過有限次初等變換變成（1）.

那反過來呢？因為初等變換的過程是可逆的，所以由相對應的（1）反過來可以經過有限次初等變換成原來的（2）.

因為梯形矩陣（1）的行秩與列秩是相等的，故我們只需驗證初等變換不改變行秩與列秩就可以了.下面給出簡單的證明.

2.有限開覆蓋定理

若為閉區間上的一個開覆蓋，則存在有限開覆蓋.

這是數學分析教材里最基本的定理之一，也是實數完備性定理之一.實數的完備性可以說是數學中基礎的基礎.正確地理解實數的完備性無疑是本科生的重點和難點.但是一般的教材里的證明都讓學生感覺很生澀，如果理解不到位還會讓學生感覺只是邏輯的堆砌，完全看不出生活中實數的自然性，也不理解這樣做的原因.大部分教材如《數學分析》（華東師范大學出版社）里的證明一般都是用分割的方法，我們考慮另一種形象的看法，然后給出一個自然的證明.

實際上我們搞清楚定理在說什么就可以了.什么是一個開覆蓋？條件說存在一個開覆蓋，承認存在開覆蓋的同時實際上也承認了什么？

既然閉區間存在開覆蓋，那當然區間里任一點都存在相應的開區間覆蓋它，從而這個點和覆蓋它的開區間的右邊端點有個距離，比如，從點a開始，任取一個覆蓋它的開區間，有個距離. 我們取所有這些距離里最大的，也就上確界，記為，如果點仍落在閉區間內，可以接著進行下去取最長的距離，依次類推.這時候只需注意到條件說存在開覆蓋，也就意味著這些不斷取到的點總可以超過點b（想想為什么？如果永遠都到達不了點b，又怎么會有開覆蓋呢？因為這已經是按照最大方式接近點b了），從而當然一定有限！也就是說實際上這些暗含的信息是等價的，搞清楚這些剩下的就是嚴格敘述的事了.

3.可數個可數集的并是可數集

設一組集合，若每個為可數集，則為可數集.

這個命題是實變函數教材里最基本的命題之一，關乎學生以后對分析的理解和運用.雖然很簡單，但是事實是仍然有好多學生對集合論感覺很玄乎，比如選擇公理之類的，以至于對這個命題也感覺可對可錯.這種想法實際上是不對的.此命題是嚴格正確的，證明方法有很多，比如Rudin的數分析原理里的證明就是用下標標號法，實際上還可以更直接的去看待這個問題，可以“看得見的”去證明.

可數集的概念我們是用自然數集N來定義的，那就直接考慮是否和N對等就行了.下面有個很自然的看法.

4.歐拉定理

V+F-E=X（P），V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數，X（P）是多面體P的歐拉示性數.如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那么X（P）=2.特別的，P為凸多面體時，X（P）=2.

一般的教材中有很多證明，比如《整體微分幾何初步》（沈一兵），用到微積分、微分形式等.針對凸多面體，下面給出一種自然的初等的看法.

【參考文獻】

[1]常庚哲，史濟懷.數學分析教程.第三版.高等教育出版社.

[2]王萼芳，石生明.高等代數.第三版.高等代數出版社.

[3]華東師范大學數學組.數學分析.第三版.華東師范大學出版社.

[4]Walter Rudin.The Principles Of Mathematics.Third Edition.機械工業出版社.

[5] 沈一兵.整體微分幾何初步.第一版.高等教育出版社.

[6]Artin.algebra.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical AnalysisI.Springer，2010（3）.

[8]Zberhard Zeidler.Applied Functional Analysis：Applications to Mathematical Physics.Spriner Third Edition.

[9]張恭慶，林源渠.泛函分析講義.北京大學出版社，2010.