導數在實際生活中的最優化應用

王益洲

【摘 要】作為高等數學的重要組成部分，微積分的學習和應用一直都備受關注。而導數又是微積分中微分學的主要構成，其在實際生活中有著廣泛應用，是微積分的核心內容。就目前來講，導數已經在醫藥、天文、經濟、工業、物理、工程以及日常生活等多個領域中有廣泛應用。現本文就通過分析導數的相關基礎概念，來談談其在是實際生活中的最優化應用。

【關鍵詞】導數；最優化；生活；應用

高等數學是我國高校教育的必修課程，之所以要讓學生學習和掌握高等數學，是因為高等數學的很多知識內容都可以應用在實際生活中，能夠幫助學生更好的應對生活和工作中的難題。其中導數就是這樣一種具有很大實際應用價值的高等數學內容，其產生形成的原因和作用是為了滿足生產技術與自然科學的發展需求。目前，導數已經在很多工農業生產領域和生活領域中發揮巨大作用，尤其是在解決最優化、最大值和最小值的問題時，導數更是起到關鍵作用。那么導數的最優化問題是如何解決的，其在實際生活中的應用又有哪些呢？以下筆者就幾個實例來進行分析探討。

1 導數的基本概念分析

1.1 導數的起源

所謂導數，是指一個函數的因變量對于自變量的變化率，即當自變量的增量趨于零時，因變量的增強和自變量的增量之商的極限就是導數。其是微積分中的一個重要基礎概念。但是導數并非是與普通數學一起興起和形成的，其是在17世紀20年代末，由法國數學家費馬率先提出的一個新數學概念，最初的導數概念主要是指最大值和最小值的求值方法，并沒有一個很系統的概念，直到19世紀60年代，魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言，才使導數形成了今天的表達形式，并被廣泛接受認同。

可以說，導數是源于生活而服務于生活的，其在很大程度上促進了生產技術與自然科學的快速發展，因為在自然現象中，有很多事物的數量關系并不能用一個準確的數值來表示，這會給研究帶來一定的不便。而通過利用導數來表達其變化率結構，則可以很好的解決這一問題，也正因為導數的這一應用優勢，使得其在很多科研領域和生活生產領域中有了廣泛應用。例如經濟學中利潤的變化率、物理運動的瞬時速度、人口增長率研究等等，這些問題都可以用導數來解決。

1.2 導數的最優化問題

一般來講，若一個函數存在導數，那么該函數就一定可導或可微分，這是其解決最優化問題的基本前提。在實際的生活中，導數的最優化問題比比皆是，隨處可見。例如如何用料最省，如何生產效率最高等等，都是最優化問題，都可以用導數來加以解決。在實際的應用中，導數最優化問題的解決主要有四個步驟。第一，要對實際問題中所體現出的各個關鍵量進行分析，并理清這些量的關系，根據所得出的數據建立數學模型，并列出各個變量間的函數關系式，然后再結合具體情況劃定自變量的范圍，也就是其定義域。第二，對所列出的函數關系式進行求導，結合定義域的要求確定實根、極值點與不可導點。第三，計算函數在不同區間的端點、極值點與不可導點的函數值，并對這些函數值進行對比，從而獲得所需的最大值或最小值。第四，將最大值與最小值回歸到具體的實際問題中，得出實際問題的最優解。

值得一提的是，在用導數來處理實際生活中的最優化問題時，一定要充分結合實際，對于那些不符合實際的值可以直接舍棄，不考慮在內。這就要求在確定函數關系式時，還要正確的確定定義域，即自變量的有效區間，這是保證函數值有效的前提。另外，實際生活的最優化問題中有時候出現一個區間內僅有一個點是有效值的情況，那么此時可以直接判定該點的值就是最值。

2 導數在實際生活中的最優化應用

本文一再強調導數在實際生活中有著很大的應用價值，那么其具體表現在哪些方面呢？以下筆者就舉出幾個實際例子，來證明導數在解決最優化問題時的應用優越性。

2.1 實例一

已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為p=25-1/8q，求產量q為何值時，利潤L最大？

分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產量乘價格.由此可得出利潤L與產量q的函數關系式，再用導數求最大利潤。其中收入R=q·p，利潤L=R-C，定義域0

2.2 實例二

煙囪向其周圍地區散落煙塵而污染環境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小。

分析：不失一般性，設煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8。設A到C點的距離為AC，其中定義域為0

解得在（0，20）內惟一駐點x=20/3。由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內取得，所以在惟一駐點x處，濃度y最小，即在AB間距A處20/3處的煙塵濃度最小。

2.3 實例三

在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

分析：這一問題可以使用三角函數來解決。根據題意列出相應的函數公式，并求得函數最小值。可知AC=50-40cotθ=20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省。

2.4 實例四

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：

y=■x■-■x+8（0

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

分析：（I）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了100/40=2.5小時，代入上述函數解析式計算后可得知要耗油17.5（升）。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。

（II）當速度為x千米/小時的情況下，汽車從甲地到乙地行駛了100/x小時，設耗油量為h（x）升，其中0

3 結束語

綜上所述，在實際的生活中，導數是應用是非常廣泛且十分有用的，只要我們在面對實際問題時能夠找出問題中各個自變量和因變量之間的關系，并列出相應的函數關系式，確定合理的定義域，就可以通過求導的方式求得最值，從而解決實際問題的最優化問題。本文中所提出的導數最優化問題解決步驟與注意事項是筆者在實際的工作中總結出來的，文中所舉的幾個案例也均是較為典型的導數應用案例，希望能夠為讀者了解和應用導數來解決實際生活問題提供一些參考和幫助。

【參考文獻】

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[責任編輯：楊玉潔]