平面立體被切割截交線的繪制方法

周佳園 高吉

摘 要：所有復雜的零件都可以看成由一些基本體通過切割和疊加而成的組合體，切割相對于疊加對學生來說更加難以掌握。筆者結合技工學校學生的特點，總結平面立體被切割的作圖方法和步驟。

關鍵詞：截交線 點的投影 作圖方法

一、用單一平面切割平面立體

以正六棱柱為例，講解截交線的形成。

一是用之前所學習的基本體三視圖的形成，讓學生分析基本體的三視圖，主要著重分析棱線的投影。

二是從截平面具有積聚性的視圖入手，分析截平面截斷了幾條棱線，截交線就是幾邊形。這里的棱線不僅包括側棱線，還包括底面和頂面的底棱線和頂棱線，如圖1所示。此截平面為正垂面，在主視圖上投影具有積聚性，從主視圖入手解題，根據第一步的分析，截平面截斷了三條側棱線，兩條頂棱線。在主視圖上標注出這五個點，如圖1所示。

圖1 圖2

三是這五個點在棱線上處于特殊位置，按照點的投影關系求出這五個點在俯視圖和左視圖上的投影，這一步讓學生在黑板上完成，如圖2所示。

四是把這五個點的同面投影連成線，擦去沒用的線條，看不見的輪廓線改成虛線，如圖3所示。

五是做完這道題目，教師變換截平面的位置，讓學生自己按照剛才的方法，獨立完成題目，然后教師再進行講解，以達到鞏固學習的目的。

圖3 圖4

二、用組合平面切割平面立體

以正四棱錐為例，講解組合截交線的畫法。

一是分析正四棱錐的三視圖，在解棱錐被切割的問題時，建議把錐頂S以及底面頂點A、B、C、D標記出來，這樣求截交線的頂點在哪條棱線上、哪個棱面上，學生就一目了然了。

二是根據圖4所示的截平面的位置，用兩個組合平面切割正四棱錐時，兩個平面在相交位置處會產生一條絞線，在做題時教師要一個截平面一個截平面地分析。此時截交線的頂點不僅僅是位于棱線上，也會位于棱面上，教師要分析截平面切斷幾條棱線，兩個平面的交線的頂點位于哪個側棱面上，按照第一步的分析，根據SABCD這樣點的標記，可以分析出此位置有幾條側棱線。由此得出水平面切斷了三條側棱線SA、SB、SD，和正垂面的交線的交點位于兩個側棱面SBC和SCD上，所以截交線是個平面五邊形；正垂面切斷了一條側棱線SC，和水平面的交線的交點位于兩個側棱面SBC和SCD上，截交線是個平面三角形，按照順序標記出這些點，如圖4所示。

三是按照點的投影關系，將位于棱線上的點直接在圖中求出來。位于棱面上的點，如果這個棱面具有積聚性的話，此點的投影可以直接求出。而側棱面SBC和SCD不具有積聚性，屬于一般位置平面，因此在求解過程中需要用引輔助線的方法求得，這一部分可以由學生來完成，以強化之前知識的學習，如圖5所示。

圖5 圖6

四是一個平面一個平面分析。根據截交線的封閉性特點，先把截交線的各個頂點連成線，擦去沒用的線條，加深圖形，再將不可見輪廓線繪制成虛線，如圖6所示。

綜上所述，求解平面立體被切割時的截交線的問題，關鍵是找到截交線的頂點，對于學生而言，這種標點并求點的投影的方法，雖然比較麻煩，但是對學生而言，按照步驟一步步做，正確率還是很高的，并且對基本體的投影學習也更加深化了。

（作者單位：寧波技師學院）