淺議同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系

劉秋瑾

摘 要：現(xiàn)行教材未將同一平面內(nèi)兩直線的重合關(guān)系納入其中，從兩直線重合的客觀存在，兩直線重合引入課本的必要性以及應(yīng)該注意的問題三個方面進行闡述。

關(guān)鍵詞：兩直線；位置關(guān)系；平行；相交；重合

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)該有幾種？北師大版新教材是這樣敘述的：“我們知道，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和垂直兩種。”對于這種解釋，我不敢茍同。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第二學段的課程內(nèi)容中對相關(guān)知識是這樣描述的：“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。”這里，并沒有將兩條直線的位置關(guān)系界定為只有相交和平行兩種。所以，我認為教材中，應(yīng)當適當滲透兩條直線的重合關(guān)系，以給學生一個全面系統(tǒng)的知識體系，理由如下：

一、平面內(nèi)，兩條直線互相重合是客觀存在的

1.根據(jù)射線重合說明平面內(nèi)兩條直線互相重合的客觀存在

眾所周知，角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形，周角的兩條邊相互重合。射線是直線的一部分，射線能重合，直線同樣也可以重合。

2.根據(jù)線段的重合說明平面內(nèi)兩直線互相重合的客觀存在

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)有這樣的表述：“探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角的平分線重合。”既然作為直線一部分的線段可以互相重合，那么，兩條直線相互重合也必定是客觀存在的事實。

3.根據(jù)運動的觀點說明平面內(nèi)兩條直線相互重合的客觀存在

如右圖所示，直線a∥b，直線a沿著與它本身垂直的方向平移至直線a′的位置。在此過程中，直線a與直線b必有相互重合的現(xiàn)象出現(xiàn)。

二、不引入兩直線重合，學生就很難理解現(xiàn)有的一些知識

例1.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于軸對稱圖形這樣定義：“如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。”直線兩旁的部分能夠完全重合，當然包括相對應(yīng)的線段（射線或直線），如果不引入兩直線重合，學生就會誤認為折疊后互相重合的兩部分分屬于不同的平面，這種理解顯然是錯誤的。

例2.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于全等圖形和全等三角形這樣定義：“能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形”“能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形”。“如下圖所示，△ABC與△DEF能夠完全重合，它們是全等三角形，其中，頂點A，D重合，它們是對應(yīng)點；AB邊與DE邊重合，它們是對應(yīng)邊；∠A與∠D重合，它們是對應(yīng)角。”在不提兩直線重合的情況下，學生對這一部分知識就難以理解，直接影響其今后有關(guān)三角形全等證明的學習。

例3.在學習二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系時，方程組有一組解時，兩直線相交；方程組無解時，兩直線平行。如果不引入兩直線重合，對于方程組有無數(shù)組解時，兩直線的位置關(guān)系就很難給學生說清楚。

三、引入兩直線重合需要解決的問題

1.如何定義兩直線重合

我認為，要與兩直線平行和兩直線相交的定義相統(tǒng)一，分清各自的外延即可。我將兩直線的位置關(guān)系這樣定義：在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有公共點，叫做兩直線平行；兩條直線只有一個公共點，叫做兩直線相交；兩條直線有無數(shù)個公共點，叫做兩條直線重合。

2.新的定義雖然與現(xiàn)有的知識體系中的一些知識沒有太大沖突

比如，“兩直線相交，有且只有一個公共點”等還成立。但是也涉及了一些知識需要修改，比如，原有平行線的定義“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”就需要修改。再比如，根據(jù)新的兩直線位置關(guān)系的定義，“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種”就應(yīng)該改為“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行和重合三種”等。

3.為了最大限度地減少對現(xiàn)有知識的修改，消除學生的理解誤區(qū)，引入兩直線重合這一知識點后，還應(yīng)該按照慣例進行技術(shù)處理

要向?qū)W生說明：在沒有特別說明的情況下，互相重合的直線視作一條直線。這樣一來，如：“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”“平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線”等知識就不必修改了，同時學生理解也會容易得多。

當然，上述觀點只是我個人的粗淺認識，不足之處還請各位專家與同行指正。endprint

摘 要：現(xiàn)行教材未將同一平面內(nèi)兩直線的重合關(guān)系納入其中，從兩直線重合的客觀存在，兩直線重合引入課本的必要性以及應(yīng)該注意的問題三個方面進行闡述。

關(guān)鍵詞：兩直線；位置關(guān)系；平行；相交；重合

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)該有幾種？北師大版新教材是這樣敘述的：“我們知道，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和垂直兩種。”對于這種解釋，我不敢茍同。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第二學段的課程內(nèi)容中對相關(guān)知識是這樣描述的：“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。”這里，并沒有將兩條直線的位置關(guān)系界定為只有相交和平行兩種。所以，我認為教材中，應(yīng)當適當滲透兩條直線的重合關(guān)系，以給學生一個全面系統(tǒng)的知識體系，理由如下：

一、平面內(nèi)，兩條直線互相重合是客觀存在的

1.根據(jù)射線重合說明平面內(nèi)兩條直線互相重合的客觀存在

眾所周知，角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形，周角的兩條邊相互重合。射線是直線的一部分，射線能重合，直線同樣也可以重合。

2.根據(jù)線段的重合說明平面內(nèi)兩直線互相重合的客觀存在

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)有這樣的表述：“探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角的平分線重合。”既然作為直線一部分的線段可以互相重合，那么，兩條直線相互重合也必定是客觀存在的事實。

3.根據(jù)運動的觀點說明平面內(nèi)兩條直線相互重合的客觀存在

如右圖所示，直線a∥b，直線a沿著與它本身垂直的方向平移至直線a′的位置。在此過程中，直線a與直線b必有相互重合的現(xiàn)象出現(xiàn)。

二、不引入兩直線重合，學生就很難理解現(xiàn)有的一些知識

例1.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于軸對稱圖形這樣定義：“如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。”直線兩旁的部分能夠完全重合，當然包括相對應(yīng)的線段（射線或直線），如果不引入兩直線重合，學生就會誤認為折疊后互相重合的兩部分分屬于不同的平面，這種理解顯然是錯誤的。

例2.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于全等圖形和全等三角形這樣定義：“能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形”“能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形”。“如下圖所示，△ABC與△DEF能夠完全重合，它們是全等三角形，其中，頂點A，D重合，它們是對應(yīng)點；AB邊與DE邊重合，它們是對應(yīng)邊；∠A與∠D重合，它們是對應(yīng)角。”在不提兩直線重合的情況下，學生對這一部分知識就難以理解，直接影響其今后有關(guān)三角形全等證明的學習。

例3.在學習二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系時，方程組有一組解時，兩直線相交；方程組無解時，兩直線平行。如果不引入兩直線重合，對于方程組有無數(shù)組解時，兩直線的位置關(guān)系就很難給學生說清楚。

三、引入兩直線重合需要解決的問題

1.如何定義兩直線重合

我認為，要與兩直線平行和兩直線相交的定義相統(tǒng)一，分清各自的外延即可。我將兩直線的位置關(guān)系這樣定義：在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有公共點，叫做兩直線平行；兩條直線只有一個公共點，叫做兩直線相交；兩條直線有無數(shù)個公共點，叫做兩條直線重合。

2.新的定義雖然與現(xiàn)有的知識體系中的一些知識沒有太大沖突

比如，“兩直線相交，有且只有一個公共點”等還成立。但是也涉及了一些知識需要修改，比如，原有平行線的定義“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”就需要修改。再比如，根據(jù)新的兩直線位置關(guān)系的定義，“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種”就應(yīng)該改為“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行和重合三種”等。

3.為了最大限度地減少對現(xiàn)有知識的修改，消除學生的理解誤區(qū)，引入兩直線重合這一知識點后，還應(yīng)該按照慣例進行技術(shù)處理

要向?qū)W生說明：在沒有特別說明的情況下，互相重合的直線視作一條直線。這樣一來，如：“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”“平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線”等知識就不必修改了，同時學生理解也會容易得多。

當然，上述觀點只是我個人的粗淺認識，不足之處還請各位專家與同行指正。endprint

摘 要：現(xiàn)行教材未將同一平面內(nèi)兩直線的重合關(guān)系納入其中，從兩直線重合的客觀存在，兩直線重合引入課本的必要性以及應(yīng)該注意的問題三個方面進行闡述。

關(guān)鍵詞：兩直線；位置關(guān)系；平行；相交；重合

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)該有幾種？北師大版新教材是這樣敘述的：“我們知道，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和垂直兩種。”對于這種解釋，我不敢茍同。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第二學段的課程內(nèi)容中對相關(guān)知識是這樣描述的：“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。”這里，并沒有將兩條直線的位置關(guān)系界定為只有相交和平行兩種。所以，我認為教材中，應(yīng)當適當滲透兩條直線的重合關(guān)系，以給學生一個全面系統(tǒng)的知識體系，理由如下：

一、平面內(nèi)，兩條直線互相重合是客觀存在的

1.根據(jù)射線重合說明平面內(nèi)兩條直線互相重合的客觀存在

眾所周知，角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形，周角的兩條邊相互重合。射線是直線的一部分，射線能重合，直線同樣也可以重合。

2.根據(jù)線段的重合說明平面內(nèi)兩直線互相重合的客觀存在

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)有這樣的表述：“探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角的平分線重合。”既然作為直線一部分的線段可以互相重合，那么，兩條直線相互重合也必定是客觀存在的事實。

3.根據(jù)運動的觀點說明平面內(nèi)兩條直線相互重合的客觀存在

如右圖所示，直線a∥b，直線a沿著與它本身垂直的方向平移至直線a′的位置。在此過程中，直線a與直線b必有相互重合的現(xiàn)象出現(xiàn)。

二、不引入兩直線重合，學生就很難理解現(xiàn)有的一些知識

例1.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于軸對稱圖形這樣定義：“如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。”直線兩旁的部分能夠完全重合，當然包括相對應(yīng)的線段（射線或直線），如果不引入兩直線重合，學生就會誤認為折疊后互相重合的兩部分分屬于不同的平面，這種理解顯然是錯誤的。

例2.新北師大版數(shù)學課本七年級下冊關(guān)于全等圖形和全等三角形這樣定義：“能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形”“能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形”。“如下圖所示，△ABC與△DEF能夠完全重合，它們是全等三角形，其中，頂點A，D重合，它們是對應(yīng)點；AB邊與DE邊重合，它們是對應(yīng)邊；∠A與∠D重合，它們是對應(yīng)角。”在不提兩直線重合的情況下，學生對這一部分知識就難以理解，直接影響其今后有關(guān)三角形全等證明的學習。

例3.在學習二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系時，方程組有一組解時，兩直線相交；方程組無解時，兩直線平行。如果不引入兩直線重合，對于方程組有無數(shù)組解時，兩直線的位置關(guān)系就很難給學生說清楚。

三、引入兩直線重合需要解決的問題

1.如何定義兩直線重合

我認為，要與兩直線平行和兩直線相交的定義相統(tǒng)一，分清各自的外延即可。我將兩直線的位置關(guān)系這樣定義：在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有公共點，叫做兩直線平行；兩條直線只有一個公共點，叫做兩直線相交；兩條直線有無數(shù)個公共點，叫做兩條直線重合。

2.新的定義雖然與現(xiàn)有的知識體系中的一些知識沒有太大沖突

比如，“兩直線相交，有且只有一個公共點”等還成立。但是也涉及了一些知識需要修改，比如，原有平行線的定義“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”就需要修改。再比如，根據(jù)新的兩直線位置關(guān)系的定義，“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種”就應(yīng)該改為“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行和重合三種”等。

3.為了最大限度地減少對現(xiàn)有知識的修改，消除學生的理解誤區(qū)，引入兩直線重合這一知識點后，還應(yīng)該按照慣例進行技術(shù)處理

要向?qū)W生說明：在沒有特別說明的情況下，互相重合的直線視作一條直線。這樣一來，如：“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”“平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線”等知識就不必修改了，同時學生理解也會容易得多。

當然，上述觀點只是我個人的粗淺認識，不足之處還請各位專家與同行指正。endprint