環 的 強 正 則 性

殷曉斌，陳賽男，豆 皖

（安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖241003）

0 引 言

本文的環均指有單位元的結合環，環上的模均指單式模.設R是環，J（R），C（R）和N（R）分別表示R的Jacobson根、中心和冪零元之集.對于R中的任意元a，l（a）和r（a）分別表示a的左零化子和右零化子.如果對于任意的a∈R，存在正整數n，使得an≠0，且任意左R－模同態f：Ran→M均可擴張為R到M 的同態，則左R－模M 稱為左GP－內射模［1］.類似可定義右GP－內射模.如果R的每個單左（右）R－模是GP－內射的，則R稱為左（右）GP－V－環［1］；如果環R的每個單奇異左（右）R－模是GP－內射的，則R稱為左（右）GP－V′－環［1］.如果R中不含非零的冪零元，則R稱為約化環［1］.如果對于任意的a∈R，存在b∈R，使得a＝a2b，則R稱為強正則環［2］.強正則環具有左右對稱性.如果對于R的任意左（右）理想I，均有I2＝I，則R稱為左（右）弱正則環［3］.如果R的每個左理想是由冪等元生成的，則R稱為廣義正則環［4］.如果對于任意的r∈R，x∈L，存在正整數n，使得（rx）n∈L（或（xr）n∈L），則環R的子加群L稱為R 的弱左（右）理想［4］.如果J（R）＝N（R），則環R稱為J－環［5］.如果對于任意的a，b，r∈R，且ab＝0，有arb∈C（R），則R稱為中心半交換環.如果對于任意的a∈N（R），存在正整數n，使得an≠0，且任意左R－模同態f：Ran→M均可擴張為R到M 的同態，則左R－模M 稱為左wnil－內射模［6］.如果對于任意的a，b∈R，ab＝0，存在正整數n，使得an≠0，bn≠0，anRbn＝0，則R稱為擬ZI－環［7］.

1 GP－V－環與GP－V′－環的強正則性

引理1 設R是環，若R的每個主左（右）理想是弱右（左）理想，則R／J（R）約化.

證明：僅證左的情形，右的情形類似可證.

對任意的a∈R，若a?J（R）且a2∈J（R），則存在R的極大左理想M，使得M＋Ra＝R.由a2∈J（R）可得R＝M＋Ma.于是存在m∈M，使得1－ma∈M.由于Rm是弱右理想，故存在正整數n，使得（ma）n∈Rm?M.因此有

故ma∈M，1＝ma＋（1－ma）∈M，矛盾.所以a∈J（R），R／J（R）約化.證畢.

引理2［1］若環R 是左（右）GP－V－環，則J（R）＝0.

引理3 設R是環，若R為每個冪等元是中心元的左（右）GP－V′－環，且每個主左（右）理想是弱右（左）理想，則R是約化環.

證明：僅證左的情形，右的情形類似可證.

對任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，則存在R的極大左理想M，使得l（a）?MR，因此可以定義左R－模同態f：Ra→R／M；rar＋M，?r∈R.

下證M是本質左理想.若不然，則存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra?M＝l（1－e）及R的每個冪等元是中心元知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有

矛盾.于是M是R的本質左理想.由R是左GP－V′－環知，單奇異左R－模R／M 是GP－內射的.又因為a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab∈M.注意到Ra是弱右理想，則存在正整數n，使得（ab）n∈Ra?M.類似引理1可證ab∈M，1∈M，矛盾.故a＝0，R是約化環.證畢.

定理1 設R是環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左（右）GP－V－環，且R的每個主左（右）理想是弱右（左）理想；

3）R為每個冪等元是中心元的左（右）GP－V′－環，且每個主左（右）理想是弱右（左）理想.

證明：1）?2），3）顯然.下證2），3）?1）.僅證左的情形，右的情形類似可證.

2）?1）.由引理1和引理2知，R是約化環，則對任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R，于是存在R的極大左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.由R 約化知，l（an）＝l（a），因此可以定義左R－模同態f：Ran→R／M；ranr＋M，?r∈R.注意到R是左GP－V－環，單左R－模R／M是GP－內射的.從而存在b∈R，使得1－anb∈M.又因為Ra是弱右理想，則存在正整數m，使得（anb）m∈Ra?M.類似引理1可證anb∈M，1∈M，矛盾.所以對任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是強正則環.

3）?1）.由引理3知，R是約化環，則對任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.于是單奇異左R－模R／M是GP－內射的.類似2）?1）可證1∈M，矛盾.所以對任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是強正則環.證畢.

命題1 設R是中心半交換環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左GP－V′－環，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.

2）?1）.由中心半交換環的定義，設e是冪等元，則e（1－e）＝（1－e）e＝0，于是對任意的a∈R，有ea（1－e）∈C（R），（1－e）ae∈C（R）.從而ea（1－e）＝e·ea（1－e）＝ea（1－e）·e＝0，則ea＝eae.同理有ae＝eae.故ae＝ea，即冪等元e是中心元.由定理1即得結論.

3）?1）.對任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，則存在R的極大左理想M，使得l（a）?MR，因此可定義左R－模同態f：Ra→R／M；rar＋M，?r∈R.易知M 是本質左理想.由R是左GP－V′－環知，單奇異左R－模R／M是GP－內射的.又因為a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab＝m∈M，1＝ab＋m.由于R 是中心半交換環，則aba∈C（R）.從而有（aba）（ba）＝（ba）（aba）＝0，（ab）3＝0，ab是冪零元.故m＝1－ab有逆元，1∈M，這與M的極大性矛盾.所以a＝0，R是約化環，故l（a）＝r（a）.

下證對任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整數m，使得（rast）m∈aR?K，則（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，從而存在R的極大本質左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），因此可以定義左R－模同態g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R 是左 GP－V′－環知，單奇異左R－模R／L 是GP－內射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強正則環.證畢.

定理2 設R是中心半交換環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左GP－V′－環，且R的每個極大本質左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環，且R的每個極大本質右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.

2）?1）.由命題1知R約化，下證對于任意的a∈R，Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.由R約化知，l（an）＝l（a），于是可以定義左R－模同態f：Ran→R／M；ranr＋M，?r∈R.由R是左GP－V′－環知，單奇異左R－模R／M是GP－內射的，因此存在b∈R，使得1－anb∈M.又因為M 是弱右理想，則存在正整數m，使得（anb）m∈M.類似引理1可證anb∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是強正則環.

3）?1）.由命題1知R約化，故l（a）＝r（a）.下證對任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由K 是弱右理想知，存在正整數m，使得（rast）m∈K，則（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，因此存在R的極大本質左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），從而可定義左R－模同態g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R是左GP－V′－環知，單奇異左R－模R／L 是 GP－內射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強正則環.證畢.

引理4［7］設R是擬ZI－環，若R是GP－V′－環，則R約化.

由文獻［7］中引理1.1.3知，擬ZI－環的每個冪等元是中心元.于是有：

命題2 設R是擬ZI－環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左GP－V′－環，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.由定理1可得2）?1）.

3）?1）.由引理4知R約化，故l（a）＝r（a）.下證對于任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K，故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整數m，使得（rast）m∈aR?K，從而（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，于是存在R的極大本質左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），因此可定義左R－模同態g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R是左GP－V′－環知，單奇異左R－模R／L是GP－內射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強正則環.證畢.

2 廣義（弱）正則環的強正則性

引理5［4］若環R是廣義正則環，則R是左非奇異環，且J（R）＝0.

定理3 設R是環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是廣義正則環，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是廣義正則環，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.僅證2）?1），類似可證3）?1）.

2）?1）.由引理1和引理5知R約化，則R的每個冪等元是中心的.又因為R是廣義正則環，則對任意的a∈R，Ra＝∑Rei，其中ei是中心冪等元.令a＝r1e1＋…＋rnen，則有

從而有Ra＝Re1＋…＋Ren.令f1＝e1＋e2－e1e2，則f21＝f1，e1f1＝e1，e2f1＝e2，于是

故Re1＋Re2＝Rf1.再令f2＝f1＋e3－f1e3，…，fn－2＝fn－3＋en－1－fn－3en－1，e＝fn－2＋en－fn－2en.如此繼續下去，有

則存在b，r∈R，使得a＝re，e＝ba，故a＝ae＝ea＝ba2，即R是強正則環.證畢.

命題3 設R是J－環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左弱正則環，且R的每個極大本質左理想是弱右理想；

3）R是左弱正則環，且R的每個極大本質右理想是弱左理想；

4）R是右弱正則環，且R的每個極大本質左理想是弱右理想；

5）R是右弱正則環，且R的每個極大本質右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3），4），5）顯然.下證2），3）?1），類似可證4），5）?1）.

2）?1）.因為R是左弱正則環，故J（R）＝0.又R是J－環，則N（R）＝J（R）＝0，從而R是約化環.下證l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，則存在R的極大左理想M，使得l（a）＋Ra?MR.易知M 是R的本質左理想.若不然，則存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra?M＝l（1－e）及R約化知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有1－e∈l（a）?l（1－e），1－e＝（1－e）2＝0，1＝e∈M，矛盾.于是M是R的本質左理想，從而M是弱右理想.又由于R是左弱正則環，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，因此（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?M.若∑riasi?M，則存在正整數k，使得rkask?M.于是M＋Rrkask＝R，則存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到M是弱右理想且a∈M，則存在正整數n，使得（rrkask）n∈M，則（1－x）n＝（rrkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是強正則環.

3）?1）.由上述證明知R是約化環，則對于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證r（a）＋aR＝R.若不然，則存在R的極大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR?KR.類似2）?1）的證明知，K是R的本質右理想，則K是弱左理想.又因為R是左弱正則環，故有Ra＝RaRa.因此存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?K.若∑riasi?K，則存在正整數k，使得rkask?K.于是K＋rkaskR＝R，則存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到K是弱左理想且a∈K，則存在正整數n，使得（rkaskr）n∈K，則（1－x）n＝（rkaskr）n∈K，1∈K，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是強正則環.證畢.

定理4 設R是環，則下列敘述等價：

1）R是強正則環；

2）R是左弱正則環，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左弱正則環，且R的每個主右理想是弱左理想；

4）R是右弱正則環，且R的每個主左理想是弱右理想；

5）R是右弱正則環，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3），4），5）顯然.下證2），3）?1），類似可證4），5）?1）.

2）?1）.因為R是左弱正則環，故J（R）＝0.由引理1知R是約化環.下證l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，則存在R的極大左理想M，使得l（a）＋Ra?MR.由于R是左弱正則環，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?M.若∑riasi?M，則存在正整數k，使得rkask?M.于是M＋Rrkask＝R，則存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到Ra是弱右理想，則存在正整數n，使得（rkask）n∈Ra?M，從而（1－x）n＝（rkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是強正則環.

3）?1）.由上述證明知R是約化環，則對于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證r（a）＋aR＝R.若不然，則存在R的極大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR?KR.又因為R是左弱正則環，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?K.若∑riasi?K，則存在正整數k，使得rkask?K.于是K＋rkaskR＝R，則存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到aR是弱左理想且a∈K，則存在正整數n，使得（rkaskr）n∈aR?K，從而（1－x）n＝（rkaskr）n∈M，1∈K，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是強正則環.證畢.

［1］XIAO Guang－shi，TONG Wen－ting.Rings Whose Every Simple Left R－Modules Is GP－Injective［J］.Southeast Asian Bulletin of Math，2006，30（5）：969－980.

［2］Goodearl K R.Von Neumann Regular Rings［M］.Tallahassee：Krieger Publishing Company，1991.

［3］Szsz F A.Radicals of Rings［J］.Akacemidi Kiado Budapest，1981，23（1）：201－231.

［4］ZHANG Ju－le.Characterizations of Strong Regular Rings［J］.Northeast Math J，1994，10（3）：359－364.

［5］WU Guo－ying，WU Jun.On the Strong Regularity of J－Rings［J］.Journal of Shandong University：Natural Science，2012，47（2）：71－73.（吳國英，吳俊.關于J－環的強正則性 ［J］.山東大學學報：理學版，2012，47（2）：71－73.）

［6］CHEN Wen－bing，YIN Xiao－bin.Some Properties and Characterizations on Wnil－Injective Modules［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2011，49（6）：985－988.（陳文兵，殷曉斌.Wnil－內射模的若干性質及刻畫 ［J］.吉林大學學報：理學版，2011，49（6）：985－988.）

［7］WANG Rui.The Regularity of Some Special Rings［D］.Wuhu：Anhui Normal University，2011.（王瑞.幾類特殊環的正則性 ［D］.蕪湖：安徽師范大學，2011.）（責任編輯：趙立芹）