兩參數強馬氏過程之間的關系

杜保建，蔡定教，袁付順

（安陽師范學院 數學與統計學院，河南 安陽455000）

0 引 言

文獻［1－5］研究了兩參數各種馬氏性之間的關系，得到了許多有意義的結果；文獻［6－8］研究了各種停點之間的關系，為研究兩參數強馬氏過程之間的關系奠定了基礎.在兩參數馬氏過程理論中，強馬氏性是一個重要的基本概念.本文得到了兩參數中參數變換為非隨機的幾種強馬氏過程之間的關系.

設（Ω，F，P）為一概率空間，（E，E）為一可測空間，bE表示（E，E）上一切有界可測實值函數的集合，F的子σ－域流｛Fz；z∈?2＋｝滿足通常的（F1）和（F2）條件，｛Xz；z∈?2＋｝是適應于｛Fz；z∈?2＋｝且取值于可測空間（E，E）的隨機過程.令X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝，則X 即為（Ω，F，P）上的兩參數適應過程.擴張X到平面?2上，對z∈?2－?2＋，令Xz＝c（常數），Fz＝｛Ω，?｝.

（F4）條件：F1z與F2z關于Fz條件獨立.

1 引 理

由文獻［3］中命題1和命題2可知：?2＋上的1－馬氏性、2－馬氏性和寬將來馬氏性分別等價于?2上的1－馬氏性、2－馬氏性和寬將來馬氏性.

定義1［7］取值于?2＋上的隨機點T＝（T1，T2），若T1為Fs1停時（即（T1≤s）∈Fs1，?s∈?＋），T2關于可測，則稱T＝（T1，T2）為1－停點；若T取值于?2，T1為Fs1停時，T2關于FT11可測，則稱T為?2上的1－停點.其中＝｛A∈F：?s∈?＋，A（T1≤s）∈Fs1｝.

類似可定義2－停點.

定義2［8］取值于?2＋上的隨機點T，若對?z∈?2＋，有（T≤z）∈Fz，則稱T為停點；若（T≤z）∈F＊z，則稱T為弱停點.若T的取值為?2，對?z∈?2，有（T≤z）∈F＊z，則稱T為?2上的弱停點.

引理1 T是停點，則T既是1－停點，又是2－停點（充分性要求（F4）條件）.

證明可參見文獻［7］中定理2.11或文獻［8］中定理3.

定義3 若對任意的正整數n和任意1－停點（T1，ηi）（i＝1，2，…，n）及任意的實數s≥0和f∈bEn，有：

則稱1－馬氏過程X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是1－強馬氏過程.

注1 （T1＋s，ηi）（i＝1，2，…，n）都是1－停點.

類似可定義2－強馬氏過程.

引理2 X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝為1－強馬氏過程的充要條件是對任意正整數n和任意1－停點（T1，ηi）（i＝1，2，…，n）及任意的si≥0（i＝1，2，…，n）和f∈bEn，有：

證明：充分性顯然，下面證明必要性.

1）顯然.

2）過n個1－停點（T1＋si，ηi）（i＝1，2，…，n）做水平和垂直線，交點（T1＋si，ηj）（i，j＝1，2，…，n）都是1－停點.由定義3可知，對固定的i＝1，2，…，n，與σ｛XT1＋si，ηj，j＝1，2，…，n｝關于σ｛XT1，ηj，j＝1，2，…，n｝條件獨立，從而與關于條件獨立，再由

引理3 若隨機過程X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝1－循序可測，即對任意的s≥0和Γ∈E，有

證明：對任意的s≥0，因為T是1－停點，所以限制在（T1≤u）上時，ω→（T1－s，T2，ω）是的可測變換.又因為 X 為1－循序可測，所以（t1，t2，ω）→Xt1t2（ω）是（（－∞，u］×?＋×Ω，B（（－∞，u］×?＋）×F1u）→（E，E）的可測變換，從而其復合變換ω→XT1－s，T2（ω）是（Ω，F1u）→（E，E）的可測變換，故XT1－s，T2∈.

類似有X為2－循序可測時的相應結果.

定義4［9］若對任意停點T及任意z≥0和f∈bE，有：

則稱單點馬氏過程X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是單點強馬氏過程.其中

定義5 若對任意停點T及任意正整數n，zi＝（si，ti）（i＝1，2，…，n，其中對每個i，si≥0或ti≥0）和任意f∈bEn，有：

則稱寬將來馬氏過程X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是寬將來強馬氏過程.顯然寬將來強馬氏過程一定是單點強馬氏過程.

引理4 設隨機過程X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝循序可測，即對任意的z′∈?2＋及Γ∈E，有

T＝（T1，T2）是停點，則XT∧（T＋z）∈FT，其中z＝（s，t），s≥0或t≥0.

證明：因 為 T 是 停 點，所 以 限制在 （T≤z′）上 時，ω→ （T∧ （T＋z），ω）是 （ω，Fz′）→（（－∞，z′］×Ω，B（（－∞，z′］）×Fz′）的可測 變 換；又因 為 X 循 序 可 測，所 以 （z，ω）→Xz（ω）是（（－∞，z′］×Ω，B（（－∞，z′］）×Fz′）→（E，E）的可測變換，從而其復合變換ω→XT∧（T＋z）（ω）限制在（T≤z′）上是（Ω，Fz′）→（E，E）的可測變換，故 XT∧（T＋z）∈FT.

注2 若s≥0，t≥0時，即證XT∈FT，是文獻［10］的命題2.2，它是引理4的特例.

顯然，X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝循序可測，則X既是1－循序可測，又是2－循序可測.

證明：?A∈F1，

定義6［11］設X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是＊－馬氏過程，若對?2上的任一弱停點T及任意Ω→?2的F＊T可測映射η≥T和任意f∈bE，有：

則稱X是＊－強馬氏過程.其中F＊T＝｛A∈F：?z∈?2，A（T≤z）∈F＊z｝.

由文獻［12］中定理3.1的類似方法可得：設X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是＊－強馬氏過程，則對?2上的任一弱停點T及任意Ω→?2的可測映射ηi≥T（i＝1，2，…，n）和任意f∈bEn，有：

2 主要結果

定理1 設X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是＊－強馬氏過程，若X是1－循序可測，則X是1－強馬氏過程；若X是2－循序可測，則X是2－強馬氏過程.

從而X是1－強馬氏過程.類似可證X是2－強馬氏過程.

定理2 設X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝是1，2－強馬氏過程，且循序可測，則X是寬將來強馬氏過程.

證明：對任意停點T＝（T1，T2）及任意自然數n和任意zi＝（si，ti）（si≥0或ti≥0，i＝1，2，…，n），由引理1，T既是1－停點，又是2－停點，由引理4，XT∧（T＋zi）∈FT（i＝1，2，…，n）.

下面證明對任意的f∈bEn，有

為敘述簡單，不失一般性，只證n＝3，z1≥0，z2≥0，z3≥0，將來是 XT1－s1，T2＋t1，XT1＋s2，T2＋t2，XT1＋s3，T2－t3的情況.記

由式（2），（3）及引理5得（FT，σ（Xτ1，Xτ2，Xτ3）σ（Xτ4，XT，Xτ6）），故X是寬將來強馬氏過程.

定理3 若X＝｛Xz，Fz；z∈?2＋｝既是1－強馬氏過程，又是2－強馬氏過程，且（F4）條件成立，則X是單點強馬氏過程.

證明：對任意停點T＝（T1，T2），由引理1，T既是1－停點，又是2－停點.因為X是1，2－強馬氏過程，所以XT∈，XT∈，再由T2∈，T1∈得，對任意的Γ∈E及任意的z＝（s，t）≥0，有（XT∈Γ，T1≤s，T2≤t）∈F1s∩F2t＝Fz（（F4）條件）［13－14］，故XT∈FT成立.

對任意的z＝（s，t）≥0及任意的f∈bE，由X是1－強馬氏性得

關于σ（XT1，T2＋t）可測，從而存在有界E可測函數g，使得

又由X的1，2－強馬氏性得

［1］楊向群，李應求.兩參數馬爾科夫過程論 ［M］.長沙：湖南科學技術出版社，1996.（YANG Xiangqun，LI Yingqiu.Markov Processes with Two Parameters［M］.Changsha：Hunan Science ＆ Technology Press，1996.）

［2］謝語權.兩參數隨機過程的各種馬氏性及寬將來馬氏性的充要條件的證明 ［J］.湘潭大學自然科學學報，1988，10（2）：15－21.（XIE Yuquan.All Kinds of Markov Properties of a Two－Parameter Stochastic Process and the Prof of a Necessary and Sufficient Condition of the Large Future Markov Property ［J］.Natural Science Journal of Xiangtan University，1988，10（2）：15－21.）

［3］黃長全.兩參數隨機過程馬氏性間的關系 ［J］.應用數學，1992，5（4）：89－91.（HUANG Changquan.Relations between Markov Properties of Two－Parameter Processes［J］.Mathematica Applicata，1992，5（4）：89－91.）

［4］李應求.各種兩參數馬氏性間關系的注 ［J］.數學年刊：A輯，1992，13（6）：688－691.（LI Yingqiu.The Note on Relations between all Kinds of Two－Parameter Markov Property［J］.Chinese Annals of Mathematics：Series A，1992，13（6）：688－691.）

［5］王玉寶，胡迪鶴.均馬氏過程、馬氏過程、鞅及平穩過程的關系 ［J］.武漢大學學報：理學版，2005，51（1）：7－10.（WANG Yubao，HU Dihe.The Relations of Markov Processes，Martingales and Stationary Processes［J］.J Wuhan Univ：Nat Sci Ed，2005，51（1）：7－10.）

［6］霍永亮.兩指標停止σ－域與停點的關系 ［J］.紡織高校基礎科學學報，1998，11（2）：157－159.（HUO Yongliang.On the Relationships between Stoppingσ－Field and Stopping Point of Two－Parameter［J］.Basic Sciences Journal of Textile Universities，1998，11（2）：157－159.）

［7］陳新香.各種停點及其關系 ［J］.數學研究，1999，32（2）：202－206.（CHEN Xinxiang.Some Stopping Points and Their Relations［J］.Journal of Mathematical Study，1999，32（2）：202－206.）

［8］張卓奎，任曉紅，陳慧嬋.兩指標停時及其性質 ［J］.吉林大學學報：理學版，2002，40（2）：127－130.（ZHANG Zhuokui，REN Xiaohong，CHEN Huichan.Two－Parameter Stopping Times and Their Properties［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2002，40（2）：127－130.）

［9］王梓坤.二 參 數 Ornstein－Uhienbeck 過 程 ［J］.數 學 物 理 學 報，1983，3（4）：395－406.（WANG Zikun.Two－Parameter Ornstein－Uhienbeck Processes［J］.Acta Mathematica Scientia，1983，3（4）：395－406.）

［10］侯強.兩指標馬爾科夫過程的停點變換 ［J］.西北電訊工程學院學報，1986（3）：13－20.（HOU Qiang.Stopping Point Transformation of Two－Parameter Markov Processes ［J］.Journal of Northwest Telecommunication Engineering Institute，1986（3）：13－20.）

［11］杜保建，何朝兵，袁付順.平面上的強馬爾科夫過程 ［J］.湖南師范大學自然科學學報，2011，34（1）：10－13.（DU Baojian，HE Chaobing，YUAN Fushun.Strong Markov Properties in the Plane［J］.Journal of Natural Science of Hunan Normal University，2011，34（1）：10－13.）

［12］杜保建.兩指標過程的寬過去強 Markov性 ［J］.數理統計與應用概率，1995，10（4）：25－30.（DU Baojian.Past－Relaxed Strong Markov Properties for Two－Parameter Processes［J］.Mathematical Statistics and Applied Probability，1995，10（4）：25－30.）

［13］趙覲周.關于可換性的 Meyer問題 ［J］.工程數學學報，1989，6（3）：75－80.（ZHAO Jinzhou.Meyer’s Problem on the Commutability［J］.Journal of Engineering Mathematics，1989，6（3）：75－80.）

［14］Meyer P A.Theorie Elementaire des Processus a Deux Indices［J］.Lecture Notes in Mathematics，1981，863：1－39.