應用Legendre小波求解非線性分數階Volterra積分微分方程

黃 潔，韓惠麗

（寧夏大學 數學計算機學院，銀川750021）

分數階微積分及其方程廣泛應用于力學和種群問題等領域中.分數階積分（微分）方程的解析解求解較困難，且方法少.目前，分數階積分（微分）方程的數值解法主要有同倫攝取法［1］、Taylor展式法［2］、Adomin分解法［3］和小波基方法［4－10］等.由于小波基的正交性使化簡后代數方程組的矩陣是稀疏的，因此小波方法廣泛應用于數值求解積分方程和偏微分方程問題中.文獻［5－6］分別采用CAS小波的分數階積分算子矩陣和第二類Chebyshev小波（SCW）的分數階積分算子矩陣研究了非線性分數階Volterra積分微分方程的數值解問題，得到了相應的結果.本文利用Legendre小波求解非線性分數階Volterra積分微分方程.與文獻［5－6］相比，相同點是將非線性分數階Volterra積分微分方程轉化為非線性代數方程組求解，不同點是本文通過Legendre小波和分數階微積分的概念推出了Legendre小波的分數階積分算子矩陣，并證明了這種方法的誤差邊界值.

考慮如下形式的第二類非線性分數階Volterra積分微分方程：

滿足初始條件

其中：f（x），k（x，t）∈L2（［0，1］）為已知函數；Dα為Caputo分數階微分算子；y（x）為未知函數；q為正整數.

1 Legendre小波

定義1［11］在［0，1）上定義Legendre小波如下：

對于定義在［0，1）上的函數f（t）可用Legendre小波展開為

式中：

當M＝3，k＝2時，Legendre小波矩陣表示為

2 Legendre小波的分數階積分算子矩陣

定義3［12］R－L 分數階積分定義為

定義4［12］Caputo分數階微分定義為

式（5）和式（6）有如下關系：

其中m－1＜α≤m，m∈?.

對于［0，1）上的平方可積函數f（t）可用BPFs展開為

式中：F＝（f0，f1，…，fm－1）T；Bm（t）＝（b0（t），b1（t），…，bm－1（t））T.

于是Legendre小波可由m′個塊脈沖函數表示為

由BPFs的分數階積分算子矩陣性質［13］得

式中

下面求解Legendre小波的分數階積分算子矩陣.設

則Pα稱為Legendre小波的分數階積分算子矩陣.由式（10），（11）可得

再由式（12），（13）得

3 方程的轉化

將式（1）中的函數Dαy（x）和f（x）用Legendre小波展開為

其中K 是 m′×m′矩 陣，其 元 素 為kij＝ 〈φnm（x），〈k（x，t），φm′n′（t）〉〉，i＝ （n－1）M ＋m＋1，j＝（n′－1）M＋m′＋1.

由式（8），（12），（15）計算得

令A＝（a0，a1，…，am′－1）＝（YTPα＋）Φm′×m′，則y（x）≈ABm′（x），（y（x））q≈AqBm′（x），其中由數學歸納法得

將式（15）～（18）代入式（1）得

通過數值求解方程組（20），可得式（1）的近似解.

4 誤差分析

隨著q的不斷增大，Cq以指數形式不斷減小.由于截斷Legendre小波的系數即為方程的近似解，所以定義2－范數的誤差函數為

其中：y（x）為精確解；ym′（x）為式（20）得到的數值解.

證明：設S＝YTPα＋，且

又因為rq（x）為y（x）在區間In上的q次插值多項式，所以

因此，由式（22）得

5 數值算例

例1 求解滿足初始條件y（0）＝0的積分微分方程：

令M＝2，k＝6，取α分別為1，0.9，0.8進行數值求解，并與文獻［15］中采用HPM方法得到的結果進行比較，結果列于表1.由表1可見，當α＝1時，本文方法的數值解一致逼近精確解.

表1 Legendre小波與HPM方法的數值解對比Table 1 Contrast of numerical results by Legendre wavelet and HPM method

例2 解滿足條件y（0）＝y′（0）＝0的積分微分方程：

其精確解為y（x）＝x2.令M＝1，k分別取4，5，6，7時，2－范數誤差的近似值列于表2.其精確解與數值解如圖1所示.由表2和圖1可見：隨著節點的不斷增多，數值解的精度逐漸提高，誤差越來越小.

圖1 當M＝1，k＝4，5，6，7時數值解與精確解的比較Fig.1 Comparison between numerical solution and exact solution for M＝1and k＝4，5，6，7

表2 當M＝1時不同k值2－范數誤差的近似值Table 2 Approximate values of absolute errors for norm－2at different kof the Legendre wavelet when M＝1

綜上可見，本文采用Legendre小波求解了非線性第二類分數階Volterra積分微分方程，先將方程轉化為非線性方程組進行數值求解，再通過矩陣的稀疏化簡化了運算量.誤差分析和數值算例結果表明，采用Legendre小波運算可行、有效.

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