E類(lèi)保序嚴(yán)格部分一一變換半群的極大逆子半群

龍偉鋒，游泰杰

（貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴陽(yáng)550001）

0 引 言

設(shè)［n］＝｛1，2，…，n｝并賦予自然序，Singn和Pn分別表示［n］上的奇異變換半群和部分變換半群.對(duì)α∈Pn，若對(duì)于任意的x，y∈dom（α），x≤y蘊(yùn)含xα≤yα，則稱(chēng)α為保序部分變換.設(shè)POn為Pn中除恒等變換外所有保序部分變換構(gòu)成的集合，則POn是Pn的子半群［1］，稱(chēng)為保序部分變換半群.記On＝POn∩Singn，則On是POn的子半群［1］，稱(chēng)為（奇異）保序變換半群.令I(lǐng)n表示［n］上的對(duì)稱(chēng)逆半群.設(shè)α∈In，若對(duì)任意的x，y∈dom（α），x≤y蘊(yùn)含xα≤yα，則稱(chēng)α為保序部分一一變換.記POIn為In中除恒等變換外的所有保序部分一一變換構(gòu)成的集合，則POIn是In的一個(gè)逆子半群［2］，稱(chēng)為保序（嚴(yán)格）部分一一變換半群.

目前，對(duì)具有保序性質(zhì)變換半群極大子半群的研究已有很多結(jié)果［3－7］.文獻(xiàn)［3］給出了保序變換半群On的具有某種性質(zhì)的極大子半群；文獻(xiàn)［4］刻畫(huà)了有限保序部分一一變換半群極大逆子半群的完全分類(lèi)；文獻(xiàn)［5］討論了奇異保序變換半群的極大正則子半群；文獻(xiàn)［6］給出了有限部分保序變換半群POn的具有某種性質(zhì)的極大子半群；文獻(xiàn)［7］研究了保序部分變換半群POn的極大子半帶.

文獻(xiàn)［8］引入了保E＊關(guān)系部分一一變換半群.設(shè)X為有限集合，E為X 上的等價(jià)關(guān)系，且IX為X上的對(duì)稱(chēng)逆半群.令

IE＊（X）＝ ｛f∈IX：對(duì)任意的x，y∈dom（f），（x，y）∈E當(dāng)且僅當(dāng)（f（x），f（y））∈E｝，則IE＊（X）為IX的逆子半群，稱(chēng)為保E＊關(guān)系部分一一變換半群.文獻(xiàn)［8］討論了它的Green關(guān)系與秩.本文在文獻(xiàn)［8］與文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，將保E＊關(guān)系與有序性引入到對(duì)稱(chēng)逆半群中，考慮一類(lèi)新的半群，即E類(lèi)保序嚴(yán)格部分一一變換半群.令X為有限集合，E為X上的等價(jià)關(guān)系，且IE＊（X）為保E＊關(guān)系部分一一變換半群.設(shè)f∈IE＊（X），任取x，y∈dom（f），若（x，y）∈E，x≥y 當(dāng)且僅當(dāng)（f（x），f（y））∈E，f（x）≥f（y），則稱(chēng)f為（X 上的）E類(lèi)保序部分一一變換.令OIE＊（X）為所有X 上的E類(lèi)保序嚴(yán)格部分一一變換之集，易驗(yàn)證OIE＊（X）是IE＊（X）（IX）的逆子半群，稱(chēng)為E類(lèi)保序嚴(yán)格部分一一變換半群.

任取x，y∈X，若x≤y，定義［x，y］＝｛z∈X：x≤z≤y｝.對(duì)于一般情形，即對(duì)任意的有限全序集X和X上的任意等價(jià)關(guān)系，很難描述半群OIE＊（X）的結(jié)構(gòu).因此，先考慮一種特殊情形.本文總假設(shè)X＝｛1，2，…，nm｝（n≥3，m≥2）為全序集，E為X 上的等價(jià)關(guān)系，滿(mǎn)足

其中Ai＝［（i－1）n＋1，in］，i＝1，2，…，m.對(duì)于兩個(gè)變換的復(fù)合表示為gf：首先作用f，然后作用g.

設(shè)S是OIE＊（X）的逆子半群.若S滿(mǎn)足：對(duì)OIE＊（X）任意的逆子半群T，有S?T?T＝OIE＊（X），則稱(chēng)S是OIE＊（X）的一個(gè)極大逆子半群.本文在上述全序集與等價(jià)關(guān)系下討論OIE＊（X）的極大逆子半群.

1 預(yù)備知識(shí)

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的結(jié)果，IE＊（X）的Green關(guān)系有如下刻畫(huà)：fRg 當(dāng)且僅當(dāng)Im（f）＝Im（g），fLg 當(dāng)且僅當(dāng)dom（f）＝dom（g），fHg當(dāng)且僅當(dāng)Im（f）＝Im（g）且dom（f）＝dom（g）.

由于任意半群及其正則子半群的Green關(guān)系中R，L，H 關(guān)系是一致的，注意到OIE＊（X）是IE＊（X）的正則子半群（因?yàn)镺IE＊（X）是IE＊（X）的逆子半群），則下列引理成立：

引理1 對(duì)任意的f，g∈OIE＊（X），fRg 當(dāng)且僅當(dāng)Im（f）＝Im（g），fLg 當(dāng)且僅當(dāng)dom（f）＝dom（g），fHg當(dāng)且僅當(dāng)Im（f）＝Im（g）且dom（f）＝dom（g）.

為敘述方便，在OIE＊（X）上引入如下二元關(guān)系.

引理2 JΔ是OIE＊（X）上的等價(jià)關(guān)系，且H?JΔ，L?JΔ，R?JΔ.

下面分3種情況討論.

②i＜j.令

下證f＝ηξ.由η，ξ的定義，易驗(yàn)證dom（ηξ）＝dom（f），且

此外，考慮當(dāng)x∈dom（f）＼Ap時(shí)，ηξ（x）＝η（f（x））＝f（x）.故f＝ηξ.

③i＞j.證明類(lèi)似于②的證明.

設(shè)

①i＝j(luò).證明類(lèi)似于情形1）中①的證明.

②i＜j.令

下證f＝ηξ.由ξ，η的定義，易驗(yàn)證dom（ηξ）＝dom（f），且

③i＞j.證明類(lèi)似于②的證明.

易知OIE＊（X）的頂端JΔ類(lèi)有如下nm個(gè)L類(lèi)與nm個(gè)R類(lèi)：

其中1≤k≤nm.用Hij表示Rj與Li所確定的H 類(lèi)Li∩Rj.注意到OIE＊（X）中元素的有序性，則OIE＊（X）的冪等元只含于Hii，且Hii中只含有唯一的冪等元（此冪等元為X＼｛i｝上的恒等變換）.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)X＝｛1，2，…，nm｝（n≥2，m≥3），若（Σ，Λ）是X的一個(gè)二劃分（即Σ∪Λ＝X，Σ∩Λ＝?），則

為OIE＊（X）的極大逆子半群.反之，對(duì)OIE＊（X）的任一極大逆子半群M，存在X的某個(gè)二劃分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.

證明：1）證明設(shè)X＝｛1，2，…，nm｝（n≥2，m≥3），若（Σ，Λ）是X 的一個(gè)二劃分（即Σ∪Λ＝X，Σ∩Λ＝?），則式（1）為OIE＊（X）的極大逆子半群.

知f，g∈H（Σ，Σ）∪H（Λ，Λ）.設(shè)f∈Hij，g∈Hks（i，j，k，s∈X）.若f，g∈H（Σ，Σ），知i，j，k，s∈Σ，則易驗(yàn)證gf∈H（Σ，Σ）或gf∈.若f，g∈H（Λ，Λ），同理gf∈H（Λ，Λ）或gf∈.若f∈H（Σ，Σ），g∈H（Λ，Λ），由于（Λ，Σ）是一個(gè)二劃分，則gh∈.若f∈H（Λ，Λ），g∈H（Σ，Σ），同理gh∈.從而M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一個(gè)子半群.

其次，M（Σ，Λ）為 OIE＊（X）的逆子半群.對(duì)任意的f∈M（Σ，Λ），下證f 的唯一逆元f－1∈M（Σ，Λ）.由于是OIE＊（X）的逆子半群，可設(shè)f∈H（Σ，Σ）∪H（Λ，Λ）.由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)f∈H（Λ，Λ），則存在i，j∈Λ，使得f∈Hij.從而f在IX中的唯一逆元f－1∈Hji?H（Λ，Λ）?M（Σ，Λ），進(jìn)而 M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一個(gè)逆子半群.

最后，證明M（Σ，Λ）為OIE＊（X）的極大逆子半群.設(shè)S為OIE＊（X）的任一個(gè)真包含 M（Σ，Λ）的逆子半群，則存在g?M（Σ，Λ）且g∈S∩［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］.由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)g∈H（Σ，Λ），則存在k∈Σ，s∈Λ，使得g∈Hks.注意到S是OIE＊（X）的逆子半群，可知g在OIE＊（X）的唯一逆元g－1在H（Λ，Σ）中.任取f∈H（Σ，Λ），不妨設(shè)f∈Hij（i∈Σ，j∈Λ），則存在h∈Hik，t∈Hsj，使得f＝tgh.從而H（Σ，Λ）?H（Λ，Λ）gH（Σ，Σ）?S.同理可證，H（Λ，Σ）?H（Σ，Σ）g－1H（Λ，Λ）?S，因此S＝OIE＊（X）.綜上所述，M（Σ，Λ）為OIE＊（X）的一個(gè)極大逆子半群.

2）證明對(duì)OIE＊（X）的任一極大逆子半群M，存在X的某個(gè)二劃分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.

首先，證明對(duì)OIE＊（X）的任意極大逆子半群 M，都有 Hii?M（i∈｛1，2，…，nm｝）.

① 若存在i∈｛1，2，…，nm｝，使得 Hii∩M＝?，從而 M∩Li＝? 且M∩Ri＝?.令Σ1＝｛i｝，Λ1＝X＼Σ1.顯然，M（Σ1，Λ1）是OIE＊（X）的極大逆子半群.注意到 Hii?M（Σ1，Λ1），知 M 真包含于M（Σ1，Λ1），這與極大性矛盾，從而Hii?M.

其次，證明若f∈M∩Hij（i，j∈｛1，2，…，nm｝），則Hij?M.由于Hjj∈M，則Hij?Hjjf?M.

最后，證明對(duì)OIE＊知（X）的任一極大逆子半群 M，存在X 的某個(gè)二劃分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.由于冪等元只含在Hii（1≤i≤nm）中，且 Hii?M（i∈｛1，2，…，nm｝），故存在非冪等元f∈，但f?M.不妨設(shè)f∈Hks，則f∈Rk.Rk中有nm個(gè)R類(lèi)：Hk1，Hk2，…，Hk（nm）.注意到若f∈M∩Hij（i，j∈｛1，2，…，nm｝），則 Hij?M，從而對(duì)任意的 H 類(lèi)Hij有Hij?M 或Hij∩M＝?（j∈｛1，2，…，nm｝）.設(shè) 在 Rk中 與 M 相 交 為 ? 的 H 類(lèi) 有q 個(gè)，記 為 Hki1，Hki2，…，Hkiq.令Λ＝｛i1，i2，…，iq｝，Σ＝X＼Λ.下 證 M ＝M （Σ，Λ）.由 M 與 M （Σ，Λ）的 極 大 性， 只 需 證 明［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］∩M＝?.不妨設(shè)存在f∈M∩H（Σ，Λ），即存在i∈Σ，r∈Λ，使得f∈M∩Hir，從而Hir?M.由i∈Σ，則Hki?M.易見(jiàn)HirHki＝Hkr，從而Hkr?M，這與r∈Λ矛盾.故H（Σ，Λ）∩M＝?.同理可證，H（Λ，Σ）∩M＝?，從而［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］∩M＝?.注意到（Σ，Λ）為X的一個(gè)二劃分，知M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一個(gè)極大逆子半群.由M?M（Λ，Σ）且M 具有極大性，則M＝M（Λ，Σ）.

綜上所述結(jié)論成立.

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