含分布Henstock－Kurzweil積分的一階反周期邊值問題

周 浩，葉國菊，王 鷗，楊慧敏

（河海大學 理學院，南京210098）

0 引 言

文獻［1－6］在反周期邊值條件下，分別研究了常導數意義下一階常微分方程、高階微分方程、偏微分方程和抽象微分方程解的存在性.

考慮如下含有分布導數的反周期邊值問題：

其中：x′表示x的分布導數；x∈C（［0，T］）；T是正常數；f：?n×［0，T］→?n為分布（廣義函數），滿足如下假設條件：

（H1）f（·，t）連續，對?t∈［0，T］成立；

（H2）對每個固定的x∈C（［0，T］），f（x（·），·）為DHK可積；

本文先給出分布Henstock－Kurzweil積分的定義及一些性質定理，然后利用Schauder不動點定理證明反周期邊值問題（1）解的存在性定理，并舉例說明結果的廣泛性.

1 預備知識

定義基本空間為

其中φ（x）的支集是使φ（x）≠0全體點集的閉包.序列｛φn｝?C∞c收斂到φ?C∞c是指：存在緊集K??，使得φ和φn的支集都包含在K 中，且對每個m∈?，序列｛φn｝的各階導數｛φmn｝在K中一致收斂于φm，其中φ∈D稱為檢驗函數.

D上的連續線性泛函稱為分布（或廣義函數）.由D上分布全體構成的空間是基本空間D的共軛空間，記作D′.若f∈D′，則f：D→?，記作〈f，φ〉∈?，其中φ∈D.

定義分布f∈D′的分布導數f′為〈f′，φ〉＝－〈f，φ′〉，其中φ是檢驗函數.在這種導數定義下，所有廣義函數任意階均可微，且任意階導數都是廣義函數.

在定義1下，如果f∈DHK，則對任意的φ∈D（（a，b）），滿足

由DHK積分的定義可見，DHK積分是一種更廣泛的積分，它包含了Riemann積分、Lebesgue積分和Henstock－Kurzweil積分.

下面舉例說明DHK積分的廣泛性.

例1［7］如果F是［a，b］上幾乎處處逐點可微的連續函數，則F廣義絕對連續.進一步，如果函數F在［a，b］上連續但不可微，則F非廣義絕對連續.若F在［a，b］上不可微且F∈C（［a，b］），則F′存在且DHK可積，但非 Henstock－Kurzweil可積.反之，如果F廣義絕對連續，則F∈C（［a，b］），F′（t）不僅 Henstock－Kurzweil可積而且DHK可積.此時F′（t）是F（t）的常導數.

在DHK空間中，若定義范數‖f‖＝‖F‖∞，其中F∈BC是f的原函數，則DHK是Banach空間.

在DHK空間中，定義偏序如下：若f，g∈DHK，則fg（或gf）當且僅當f－g在［a，b］上是一個正測度.即如果f，g∈DHK，則當fg時，有在這種偏序關系下，以下結論成立.

引理2［8］對于f，g，h∈D′（（a，b）），fgh，若f，h是DHK可積的，則g也是DHK可積的.

如果當n→∞時，有‖fn－f‖→0成立，則稱序列｛fn｝?DHK強收斂于f∈DHK，記作fn→f.

DHK的共軛空間為有界變差值函數構成的空間BV［10］.

2 主要結果

反周期邊值問題（1）可以寫成如下形式：

其中：t∈［0，T］；u（t）是［0，T］上的非負、連續有界變差函數.

若g（x，t）＝f（x，t）＋u（t）x，則問題（2）變為

易驗證g滿足如下假設條件：

（H4）g（·，t）連續，對?t∈［0，T］成立；

（H5）對每個固定的x∈C（［0，T］），g（x（·），·）為DHK可積；

引理5 反周期邊值問題（3）與下述積分方程等價：

引理6（Schauder不動點定理）［11］設X是Banach空間，集合M是X 中的非空有界閉凸集；算子A：M→M是緊算子，則A有不動點.

定理1 假設條件（H4）～（H6）成立，則反周期邊值問題（3）有解.

證明：在［y，z］上定義算子A：

對任意的x∈［y，z］，由式（5）得

令w＝Az－z，由條件（H4），（H6）和式（5），（6）得

進一步有

由式（7），（8）可得

通過式（8），（9）得：w＝Az－z≤0，對所有的t∈［0，T］成立，所以Az≤z.同理可得：Ay≥y.因此，A：［y，z］→［y，z］.于是，當x∈［y，z］時，

由（H6）可驗證A（［y，z］）在［0，T］上是一致有界的.

要證明A：［y，z］→［y，z］是緊的，需要驗證A連續并且A（［y，z］）是相對緊集.

1）A（［y，z］）是相對緊集.

由式（5）得

因為對任意的t∈［0，T］，eU（t）g（·，t）是單調的，所以

從而存在N＞0，使得

由式（11）～（13）得

又因為eU（t）g（y（t），t），eU（t）g（z（t），t）關于t∈［0，T］是DHK可積的，所以它們的原函數在［0，T］上連續，也是一致連續的.因此，A（［y，z］）在［0，T］上等度連續，對?x∈［y，z］成立.由 Ascoli－Arzelà定理知，A（［y，z］）是相對緊集.

2）算子A連續.

假設序列｛xn｝?［y，z］，x∈［y，z］，當n→∞時，xn→x.由（H4）知

利用式（5）和引理3，有

綜上所述：算子A滿足引理6的條件，故A有不動點.因此反周期邊值問題（3）有解.證畢.

由定理1，可得如下結論：

推論1 若反周期邊值問題（3）有解，則反周期邊值問題（1）也有解.

推論2 假設f：?n×［0，T］→?n，f（x，t）＝f1（x，t）＋f2（t）.若f1（x，t）滿足條件（H1）～（H3），f2（t）在［0，T］上DHK可積，則反周期邊值問題（1）有解.

證明：顯然，f（x，t）關于x連續，關于t∈［0，T］是DHK可積的，所以f（x，t）滿足（H1）～（H3）.由推論1知反周期邊值問題（1）有解.

3 應用實例

例2 考慮反周期邊值問題：

其中φ（x，t）關于x連續，且

是

的導數.則問題（16）有解.

證明：令f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝F′（t），則f1（x，t）關于x 連續，f2（t）在［0，1］上Henstock－Kurzweil可積.由推論2知，反周期邊值問題（16）有解.

注1 上述F′（t）是Henstock－Kurzweil可積但不是Lebesgue可積的，因此不能應用文獻［1］中定理2.3.

例3 考慮反周期邊值問題：

證明：設f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝H′，則f1關于x連續，f2在［0，1］上DHK可積.由推論2知，反周期邊值問題（19）有解.

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