一類具有變指數偽拋物型方程解的存在唯一性

王長佳，代 群

（長春理工大學 理學院，長春130022）

0 引 言

考慮如下具有變指數偽拋物型方程的初邊值問題：

其中：Ω∈?N（N≥2）為一邊界充分光滑的有界開集；QT＝Ω×（0，T］；ΓT＝?Ω×（0，T］；p（x）為一給定的可測函數；q＞0為常數.

上述類型的方程通常稱為非線性偽拋物（pseudo－parabolic）型方程，它是一般拋物型方程的擴展，在聲學、電磁學、黏彈性力學和熱傳導等領域應用廣泛［1－3］，目前已取得許多研究結果，如文獻［4］利用Galerkin方法研究了一類算子形式偽拋物方程解的局部存在性；文獻［5］在加權Sobolev空間中給出了可解性條件并證明了解的唯一性，而且還對一些動力學問題的漸近性進行了討論；文獻［6］討論了一類具有雙非線性項的偽拋物型方程；文獻［7］對非線性項具有單調性的偽拋物型方程進行了研究.本文考慮具有變指數偽拋物型方程的初邊值問題（1），在參數滿足一定條件下，證明了此類問題弱解的存在唯一性.由于此類問題的解通常隸屬于變指數Lebesgue空間Lp（x）和變指數Sobolev空間Wk，p（x），在此類空間中許多經典的數學工具與技術不再適用，如平移算子的有界性、卷積不等式、與極大值算子和其他奇異積分算子相應的不等式，特別是龐加萊不等式以及Sobolev嵌入不等式在“模型式”下也將不再成立.

定義1 如果函數u（x，t）滿足下列條件：

則u（x，t）稱為問題（1）的弱解.

注1 事實上，式（2）等價于下式［8］：

1 預備知識

2）Lp（x）是可分的且其對偶空間為Lp′（x）（Ω），其中1／p′（x）＋1／p（x）＝1；對給定的f∈Lp（x），g∈Lp′（x），如下 H?lder不等式成立：

2 弱解的存在唯一性

2.1 近似解的構造

其中i＝1，2，…，m.

記

2.2 一致性先驗估計

由于

將式（7）代入式（8）并整理可得

將式（10）在（0，t）（0＜t＜T）上積分可得

其中：

下面分兩種情形對Ym（t）進行估計.

情形1）p－＜q＋2＜2n／（n－2）.

將式（11）代入式（10）得

解微分不等式（12）可得

其中C，C1均為與m無關的常數.

情形2）p－≥q＋2（此時恒有q＋2≤np／（n－p－））.

而

將式（14）～（16）代入式（8）得

其中：ν＋＝（q＋2）／p＋；ν－＝（q＋2）／p－.

如果ν±＜1，則解微分不等式（17）可得

其中C，C3，C4均為與m無關的常數.

綜合式（13），（18），（19），可得Ym（t）≤C（T），即

由于

將式（22），（23）代入式（21），并在（0，t）上積分可得

2.3 收斂性與解的存在性

由一致估計并結合 Aubin－Lions引理可得下述收斂性：u（m）?u弱＊收斂于L∞（0，T；W1，2∩W1，p（x）（Ω））；?u弱收斂于L2（0，T；W1，2（Ω））；u（m）（s）→u（s）強收斂于Lq＋2（Ω），a.e.s∈［0，T］；弱＊收斂于L∞（0，T；Lp′（x）（Ω））.

對固定的i∈?，令m→∞，可得

從而由弱上半連續性知

對任意的λ≥0，w∈W1，p（x）0，取v＝u－λw，則有

即在廣義函數意義下成立：

令m→∞對式（29）兩端取極限可得，對?w∈W1，p（x）0（Ω），φ（t）∈L2（0，T），有

2.4 唯一性

令u1，u2為問題（1）的兩個解，則由上述討論可知對?w∈W1，p（x）0（Ω），u1，u2滿足等式：

將式（30）－式（31），有

由u1，u2的有界性，由式（32）可得

進而利用Gronwall不等式可得u1＝u2，a.e.（x，t）∈QT.

綜上，可得本文主要結果如下：

定理1 設Ω為一光滑有界區域，p（x）∈［p－，p＋］滿足條件（3），p－＞2，q＋2＜2n／（n－2）.

2）若q≤p－－2，則對?T∈（0，＋∞），方程（1）在（0，T）上存在定義1意義下的唯一弱解.

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