四元數(shù)射影空間中全實2－調(diào)和子流形的一些注記

周俊東，宋衛(wèi)東，徐傳友

（1.阜陽師范學院 數(shù)學與金融學院，安徽 阜陽236037；2.安徽師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，安徽 蕪湖241003）

設Qn（c）是具有常四元數(shù)截面曲率c的四元數(shù)空間形式，若c＞0，則稱其為四元數(shù)射影空間，記為QPn（c）.關于四元數(shù)射影空間中子流形的研究目前已取得許多結果［1－9］.范勝雪等［6］研究了四元數(shù)射影空間中的全實2－調(diào)和偽臍子流形，給出了這類子流形是極小的幾個條件和一個積分不等式.本文研究四元數(shù)射影空間QPn（c）中的全實2－調(diào)和子流形，通過使用活動標架法和廣義極值原理［7］，得到完備2－調(diào)和子流形是極小的一些條件，改進并推廣了文獻［6］的相關結果.

四元數(shù)射影空間QPn（c）在局部存在3個復結構｛I，J，K｝，滿足

若對每個點p∈Mn，切空間TpM 垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM），則Mn是QPn（c）中的全實子流形.在QPn（c）中選取局部正交標架場：e1，…，en，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n），當標架場限制在 Mn上時，e1，…，en是Mn上切向量場，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n）是 Mn上的法向量場.本文采用如下指標約定：

設ωA和是QPn（c）上的對偶標架場和聯(lián)絡形式，QPn（c）的結構方程為

QPn（c）的結構方程限制在 Mn上，則有［1］：

定義S，SH為

由Cauchy－Schwarz不等式可得SH≥nH2.參照文獻［8］，可得QPn（c）中2－調(diào)和子流形的等價條件.

引理1［8］Mn是QPn（c）中2－調(diào)和子流形的充要條件是

引理2［9］設M 是完備的Riemann流形，L是M 上的非負光滑函數(shù)，若∫Mf2dV ＜ ∞ 且Δf＝Lf，則f是常數(shù).

引理3［7］設M是一個完備的Riemann流形，若M的Ricci曲率有下界，則對于任何有下界的函數(shù)f∈C2（M），對于?ε＞0，總存在一點p∈M，使得函數(shù)f滿足

定理1 設Mn是QPn（c）中的偽臍全實2－調(diào)和子流形，則Mn是極小子流形.

根據(jù)式（1）可得ˉRI（1）I（2）12＝c／4，這與式（7）矛盾，所以H≠0不成立，即Mn是極小的.

證明：Mn是QPn（c）中緊致2－調(diào)和子流形，由引理1的第二式和式（1），（5）可得

所以Mn的截面曲率是常數(shù).

注1 定理3中，由∫MnH2dV＜∞，若Vol（Mn，g）＝∞，則Mn一定是極小子流形.

另一方面，有

利用式（8）和式（9）可推出

［1］CHEN Bangyen，Houh C S.Totally Real Submanifolds of a Quaternion Projective Space ［J］.Annali di Matematica Pura ed Applicata，1979，120（1）：185－199.

［2］SHU Shichang.Totally Real Submanifolds in a Quaternion Projective Space［J］.Tokyo J Math，1996，19（2）：411－418.

［3］LIU Ximin.Totally Real Submanifolds in a Quaternion Projective Space ［J］.Soochow J Math，1997，23（1）：91－96.

［4］WU Baoqiang，XU Xianghong.Totally Real Pseudo－umbilical Submanifolds of a Quaternion Projective Space［J］.J of Math，2005，25（1）：13－20.

［5］DENG Shangrong.Improved Chen－Ricci Inequality for Lagrangian Submanifolds in Quaternion Space Forms［J］.International Electronic Journal of Geomtry，2012，5（1）：163－170.

［6］范勝雪，宋衛(wèi)東.四元數(shù)射影空間中的全實2－調(diào)和偽臍子流形 ［J］.吉林大學學報：理學版，2013，51（2）：199－202.（FAN Shengxue，SONG Weidong.Totally Real 2－Harmonic and Pseudo－umbilical Submanifolds in a Quaternion Projective Space［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2013，51（2）：199－202.）

［7］Yau S T.Harmonic Functions on Complete Riemannian Manifolds ［J］.Comm Pure Appl Math，1975，28：201－228.

［8］姜國英.Riemann流形間的2－調(diào)和的等距浸入 ［J］.數(shù)學年刊：A輯，1986，7（2）：130－144.（JIANG Guoying.2－Harmonic Isometric Immersion between Riemannian Manifolds［J］.Chinese Ann Math：Ser A，1986，7（2）：130－144.）

［9］Nobumitsu Nakauchi，Hajime Urakawa.Biharmonic Hypersurfaces in a Riemannian Manifold with Non－positive Ricci Curvature［J］.Ann Glob Anal Geom，2011，40（2）：125－131.