漸近線性四階半正邊值問題正解的分歧結(jié)構(gòu)

劉 瑞 寬

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，蘭州730070）

0 引言及主要結(jié)果

四階常微分方程在工程和物理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，其中兩端簡單支撐的彎曲彈性梁平衡狀態(tài)可用四階邊值問題

描述［1－2］，由于其應(yīng)用廣泛，已引起人們廣泛關(guān)注［3－12］.

特別地，馬如云等［3］運用Krasnoselskii錐映射不動點定理研究了四階邊值問題

本文總假設(shè)：

（H1）f：［0，1］×［0，＋∞）→?連續(xù)，且對任意的t∈（0，1），f（t，0）＜0；

由文獻［16］知，線性特征值問題

有主特征值λ1＞0，及對任意的t∈（0，1），其相應(yīng)的特征函數(shù)φ1（t）＞0，且‖φ1‖＝1（其中‖·‖為最大模范數(shù)）.

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)（H1），（H2）成立，若存在ε＞0，使得下列兩種情形之一成立：

1）對任意的t∈（0，1），b（t）＞0且λ∈［λ∞－ε，λ∞）；

2）對任意的t∈（0，1），B（t）＜0且λ∈（λ∞，λ∞＋ε］.

則問題（1）至少存在一個正解.

注1 定理1可以確定λ在λ∞兩側(cè)正解無界連通分支的走向.

1 預(yù)備知識

引理1［5］若h∈C［0，1］，則問題

有唯一解x∈C4［0，1］，且

其中G（t，s）是邊值問題

的Green函數(shù)，即

定義線性算子L：D（L）?X→X，

不難驗證K∶＝L－1：X→X是緊的.

由引理1知，問題（1）等價于

若存在（μn，xn）∈?×X，使得（μn，xn）滿足式（5），且μn→λ∞，‖xn‖→∞，則稱（λ∞，∞）為問題（5）無窮遠處的分歧點.

不妨將F（t，x）簡記為F（x），對任意的x∈X，定義算子Φ為

顯然，對于任意給定的x＞0，若Φ（λ，x）＝0成立，則x是問題（1）的正解.

因此，（λ∞，∞）是問題（5）的從無窮遠處產(chǎn)生的分歧點，當且僅當（λ∞，0）是Ψ（λ，·）＝0從平凡解線上發(fā)出的分歧點.

對于任意的r＞0，令

記deg（Ψ（λ，·），Br，0）為 Ψ（λ，·）在 Br上關(guān)于0的 Leray－Schauder度；記i（Φ（λ，·），x0，0）為Ψ（λ，·）＝0在零點x0處的指數(shù).為方便，記iλ（0）∶＝deg（Ψ（λ，·），Br，0）.

引理2［17］設(shè)Ω為Banach空間E的開子集，f＝I－F：ˉΩ→E是全連續(xù)場，若存在e0∈E，e0≠θ，使得f（x）≠τe0（?τ≥0，?x∈?Ω），則必有deg（f，Ω，θ）＝0.

2 主要結(jié)果的證明

引理3 對于任意的緊區(qū)間Λ?［0，＋∞）＼｛λ∞｝及任意的λ∈Λ，存在r＞0，使得若‖x‖≥r，則Φ（λ，x）≠0.進一步：

1）若對任意的t∈［0，1］，b（t）＞0，則可取Λ＝［λ∞，λ］，?λ＞λ∞；

2）若對任意的t∈［0，1］，B（t）＜0，則可取Λ＝［0，λ∞］.

證明：反設(shè)存在μn→μ≥0，μ≠λ∞，使得當‖xn‖→∞時，xn＝μnKF（xn）.

令vn＝xn‖xn‖－1，則

由式（7）知，對任意的t∈［0，1］有v″″（t）≥0.因此v″圖像在［0，1］下凸，結(jié)合邊界v″（0）＝v″（1）＝0，則

由式（8）及邊界v（0）＝v（1）＝0可得

又‖v‖＝1，故Lv＝μm∞v，于是λ1＝μm∞，即μ＝λ∞，與假設(shè)矛盾.

下面證明1）成立，2）的情形類似可證.取點列｛μn｝單調(diào)遞減，且μn→λ∞，n→∞.令v≥0滿足

則存在η＞0，使得v＝ηφ1.

對任意的t∈（0，1），當n充分大時，xn＝‖xn‖vn→＋∞及F（t，xn）＝f（t，xn）.由Φ（μn，xn）＝0可得

對式（9）兩邊同時乘以φ1并從0到1積分，再結(jié)合φ″″1＝λ1φ1可得

又因μn＞λ∞，結(jié)合式（10）及Fatou引理可知

從而與b（t）＞0矛盾，故1）成立.

證明：由引理3，取Λ＝［0，λ∞］，存在r＞0，使得對任意的τ∈［0，1］，有

引理4 對任意的λ∈（λ∞，＋∞），存在r＞0，使得

證明：反設(shè)存在τn＞0，使得當‖xn‖→∞時，Φ（λ，x）＝τnφ1成立，從而

式（12）等價于下列邊值問題：

又因φ1為問題（1）的第一主特征值λ1對應(yīng)的特征函數(shù)，即φ1滿足

故將式（13）×φ1－式（14）×xn，再從0到1積分得

推論2 對任意的λ∈（λ∞，＋∞）及ε∈（0，1／r］，有deg（Ψ（λ，·），Bε，0）＝0.

證明：由引理4可知，存在r＞0，使得Φ（λ，x）≠τ‖x‖2φ1，即對任意的τ∈［0，1］，x∈E，當‖x‖＞r時，有

令Σ＝｛（λ，x）∈［0，＋∞）×X：x≠0，Φ（λ，x）＝0｝.

引理5 （λ∞，∞）是問題（5）從無窮遠處發(fā)出的分歧點，即存在從無窮遠處發(fā)出的無界閉連通分支Σ∞?Σ.進一步，若b＞0，則Σ∞向左分歧；若B＜0，則Σ∞向右分歧.

證明：結(jié)合式（11），（16）可知，存在ε0＞0，使得對任意的λ∈（λ∞－ε0，λ∞＋ε0），有iλ∞＋ε（0）≠iλ∞－ε（0），?ε∈（0，ε0）.于是（λ∞，0）是Ψ（λ，x）＝0從平凡解線上產(chǎn)生的一個分歧點.進一步，結(jié)合引理3及文獻［18］中定理1.3知，當b＞0時，Σ∞向左分歧；當B＜0時，Σ∞向右分歧.

下面證明定理1.結(jié)合上述引理及推論，若當n充分大時，μn→λ∞，‖xn‖→∞，則對任意的t∈（0，1），xn＞0.

注2 定理1的證明表明，存在k＞0，使得對任意的（λ，x）∈Σ∞，若‖x‖≥k，則有x＞0在X中，因此（λ，x）是問題（1）的解.

3 應(yīng) 用

例1 考慮四階半正邊值問題：

例2 考慮四階半正邊值問題：

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