3DOF并聯加載機構靜力學和靜剛度分析

樊 銳 劉 歡 王 丹

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

并聯機構由于其剛度大、承載能力強、位置精度高等優點[1]，多年來一直是眾多學者研究的對象.與6自由度并聯機構相比，少自由度并聯機構結構簡單、制造成本低、控制相對容易，因此成為并聯機構學新的研究熱點.

靜力學分析是并聯機構分析的必要環節，是機構運動學分析的延續和動力學分析的基礎[2]，通過靜力分析確定力傳遞特性，進而為尺度綜合等運動學設計提供依據[3];并聯機構剛度是末端操作器在外力作用下，由于彈性元件變形引起位移大小的度量[4]，它影響并聯機構在受負載情況下的定位精度[5]，也是機構設計重要的評價指標.剛度分析的方法分為有限元分析法和模型解析法.有限元分析法計算簡便，精確度較高，但工作量大.剛度解析模型是指機構的操作力和末端變形之間的映射.Gosselin[6]依據虛功原理，建立了空間機構操作力與末端變形間的映射;李樹軍等[7]考慮結構位形變化和外力影響對并聯機構剛度特性進行了分析;趙鐵石等[8]通過引進機構的二階影響矩陣推導了并聯機構剛度非線性映射.Wu等[9]在考慮機床所有部件剛度矩陣的前提下，利用裝配法建立了5自由度混聯機床的剛度模型.

本文以用于數控機床加載的3自由度并聯機構為研究對象，基于螺旋理論建立了包含支鏈自重在內的靜力學平衡方程以及考慮支鏈彈性變形情況下機構的剛度模型，得到機構運動平臺與驅動力之間的受力關系以及機構在指定載荷下的變形分布，評價了并聯機構的剛度特性，為并聯機構的結構優化及性能分析提供了理論依據.

1 機構描述

本文提出的三自由度并聯機構結構如圖1a所示，圖1b為其結構簡圖.

圖1 并聯機構結構圖和結構簡圖

該機構由基座、動平臺和連接二者的3條支鏈組成.3條支鏈均包含2條等長的S-S支鏈，為一平行四邊形結構;支鏈的兩端通過球鉸鏈(S)分別和動平臺與基座上的滑塊相連，上端3對球鉸鏈均勻地分布在動平臺上，每對球鉸鏈中心點連線形成一等邊三角形;基座上包含3個滑塊，分別安裝在3個直線驅動單元(伺服電機+滾珠絲杠)上，機構的運動通過對3個滑塊的直線驅動實現，移動副的運動方向如圖1b所示.建立如圖所示的動靜坐標系Op-xpypzp和Ob-xbybzb，Ai(i=1，2，3，4，5，6) 表示動平臺上的鉸鏈點，Bi(i=1，2，3，4，5，6) 表示滑塊上的鉸鏈點.

2 螺旋理論基本概念

在螺旋理論中，一個旋量可以同時表示空間一組對偶矢量，如可以表示矢量的方向和其作用線位置;表示剛體運動學中的線速度和角速度;表示剛體力學中的力和力偶，這對于并聯機構的某些分析是非常方便的.

旋量用對偶矢量表示為

其中，S稱為對偶矢量的原部，是一個三維向量;S0稱為對偶矢量的對偶部，也是一個三維向量，所以旋量是一個六維向量.

如果S為單位矢量，$可表示螺旋運動的單位速度矢量或者螺旋運動副軸線的單位矢量.若存在$1和$2互易積為零，即

就稱$1與$2互為反螺旋，符號“?”表示兩螺旋作互易積運算，這時反螺旋可用$r表示.對應螺旋系，若存在能同時滿足下列方程組:

式中$r稱為該螺旋系的反螺旋.

3 靜力學分析

3.1 靜力學方程的建立

該并聯機構用于對數控機床進行加載，動平臺的中心點與機床主軸相連，因此動平臺將承受機床主軸施加的力和轉矩.機構在靜止狀態下的整體受力如圖1b所示，單個支鏈3受力分析圖如圖2a所示.

圖2 并聯機構單支鏈和動平臺受力分析圖

忽略桿的自重，將每根桿看作二力桿，整個支鏈子系統的外力在沿滑塊方向(即e=[1，0，0]T方向)上的平衡方程為

從而得到滑塊3的驅動力和相鄰兩桿的受力之間的關系:

同理另外2條支鏈的滑塊驅動力與相鄰桿的受力之間的關系表示為

動平臺的受力分析圖如圖2b所示.根據鉸鏈對動平臺的6個力的力螺旋與動平臺上外載和重力的6維外力螺旋之和為0得到螺旋方程:

式中，Fe=F+Gd;$li為力fi相對于靜坐標系Obxbybzb的單位線矢;Gd為動平臺的重力表示;$li=[Si;Soi]，Si·Si=1，Si·Soi=0，Si(i=1，2，3，4，5，6)為力 fi單位方向矢量，Soi為支鏈 li對動平臺作用力的單位線矢螺旋，方向沿各桿軸向方向，Soi=ObAi× Si.

將式(7)寫成矩陣的形式:

已知動平臺與靜平臺的結構尺寸及位置參數就可以得到力雅可比矩陣;已知各桿的力fi，則可以得出動平臺所受的合力F0.目前考慮的情況是系統處于靜力加載過程且機構非奇異，故力雅可比矩陣是滿秩的，則有

式中

即唯一的力F0可以確定6桿上力的大小.

3.2 支鏈自重對力學模型的影響

上述對機構的力分析忽略了6根桿的自重，而本機構整體尺寸不大，6根桿相較于機構的整體，其自重對機構整體力學模型的影響不容忽視.本節采用投影幾何法，將6根桿所受的重力沿自身的方向矢量投影，以此對本并聯機構的受力平衡方程(8)進行修正.

如圖2a所示，取支鏈3上2根桿為研究對象，設桿件自身的重力矢量為Gi，方向豎直向下.將桿的重力在桿的單位方向矢量上投影得

式(8)可修正為

式中

其他參數含義見上文.

圖3給出了動平臺在x=0 mm，z=85 mm這一位置時，機構處于無負載情況，隨著y的變化，在是否考慮桿的自重2種情況下支鏈1的受力變化圖.

圖3 2種情況下支鏈1的受力變化對比圖

從圖3中可以看出，無負載時2種情況下支鏈1的受力相差約為3 N，因此，需要對力學模型進行修正.

3.3 靜力分析

通過式(4)～式(6)和式(11)可以得到并聯機構動平臺與驅動力之間的映射關系，根據機構動平臺受到的外載可以確定3個驅動力的大小，由此可以對機構進行驅動功率的設計[10].為了反映并聯機構動平臺受到外力作用時，3個驅動力在工作空間的任意截面內的分布情況，本節將通過實例對其進行三維仿真.

圖4a、圖4b、圖4c分別為動平臺在 x=0 mm截面上承受Fz=－1000 N的外載時，3個驅動力在給定yz空間內的變化情況.

機構的結構參數如表1所示.

表1 并聯機構的結構參數

由圖4可知3個滑塊的最大驅動力不超過1000 N，當動平臺在x=0 mm截面上時，驅動力的大小和方向都與動平臺的位置有關，以此可以為驅動元件直線單元的選取提供理論依據.

圖4 驅動力在空間內的分布情況

4 靜剛度研究

將并聯機構的每條支鏈看成2個彈性桿，由靜力學分析可知，在外載荷作用下，支鏈上的2根桿會受到沿自身軸向的作用力，由此發生彈性變形，從而引起動平臺位姿發生偏移，外載荷與動平臺位姿偏移量的映射關系即為并聯機構剛度模型.并聯機構的靜剛度模型反映了機構在無驅動輸入的前提下，動平臺所受外載荷與之引起的形變之間的關系.

4.1 支鏈的靜剛度

并聯機構的每條支鏈采用伺服電機加滾珠絲杠的驅動方式，伺服電機的旋轉運動轉化為由絲杠帶動移動副的直線運動.文獻[11]中指出支鏈的靜剛度包括驅動部件的靜剛度和固定部件的靜剛度兩部分，可表示為

式中ka為支鏈驅動部件的軸向靜剛度;kla，i(i=1，2，3，4，5，6)為支鏈固定部件的靜剛度.

4.2 支鏈彈性變形與動平臺位姿變化關系

由運動學反解模型可知，并聯機構變形前滿足幾何約束方程:

此時并聯機構變形后滿足的幾何約束方程為

式中δli為桿i在外力作用下的彈性變形量.

由此得到動平臺位姿偏移量與桿i彈性變形量之間的映射關系:

式中，Jvl為并聯機構的速度映射矩陣:

δl為由6條桿的軸向變形量構成的向量:

右上角標表示桿的序號，下同;δD為動平臺位姿偏移量:

4.3 靜剛度矩陣

對式(9)行全微分，同時考慮支鏈i在外載荷下的彈性變形得

式中，δF為作用在并聯機構動平臺上外載荷的變化量;Kl為每個支鏈的靜剛度組成的六維對角陣:

符號“?”表示矩陣的張量積;K表示并聯機構的全剛度矩陣.當矩陣非奇異時，由式(17)可得桿i的彈性變形與動平臺位姿偏移量之間的關系:

整理式(15)和式(18)得

從而得到并聯機構的完整靜剛度矩陣:

忽略雅可比矩陣變化量對機構整體剛度矩陣的影響，即

式(20)可進一步簡化:

式(21)即為并聯機構的簡化剛度矩陣.

4.4 靜剛度特性分析

并聯機構的結構參數確定后，其剛度會隨著位姿的變化而發生改變.從機構設計考慮，并聯機構的最小剛度應當大于給定值從而保證機構在工作空間內的精度.評價并聯機構剛度的指標有剛度矩陣的跡、行列式、條件數以及特征值，本文將以并聯機構剛度矩陣的最大特征值Kmax、最小特征值Kmin和KSI指標[12]作為評價指標，來觀察機構在給定工作空間內的剛度分布情況.在并聯機構動平臺位姿和所受載荷確定的情況下，文獻[7]中給出了機構的變形計算公式:

取表1所示的結構參數，圖5給出了并聯機構動平臺在x=0 mm且受到恒定靜載荷Fz=－1000 N時的變形情況，為了便于觀察動平臺的變形情況，此處各軸的變形均取絕對值.

如圖5所示，并聯機構動平臺在x=0 mm處且受到恒定靜載荷Fz=－1000 N時，最大變形發生在沿z軸方向，大小為0.025mm，且動平臺沿各軸所發生的變形分布均相對于 y軸對稱，在y=0 mm時變形最小;沿z軸方向并無此規律.

圖5 靜載下動平臺在工作空間內的變形分布圖

下文以并聯機構剛度矩陣的最大特征值、最小特征值和KSI指標來評價機構在工作空間內的剛度分布.圖6給出了動平臺在x=0 mm處，其沿y和z軸的最大、最小特征值以及KSI分布.

如圖6所示，并聯機構在x=0 mm平面內的最大、最小剛度特征值和KSI均沿y軸對稱分布，并且該機構在越接近y=0 mm處剛度越好，處于工作空間邊界的位置剛度較差;同時還可以得出，機構動平臺處于y=0 mm平面內時，z向位移越大，機構的剛度特性越好.

圖6 并聯機構剛度特性

5 結論

1)由于該加載機構的特殊性，靜力學模型需要考慮支鏈自重對其的影響;

2)加載機構驅動力的大小和方向與動平臺的位置有關，由此可以根據給定加載機構的工作空間來選取合適的驅動單元;

3)并聯機構在指定位置給定載荷的工況下的變形分布相對于y軸對稱，且最大變形發生在沿z軸方向;

4)并聯機構在x=0mm平面內的剛度特性沿y軸對稱分布，且在工作空間邊界位置剛度較差.

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