直角三角形法在機械制圖課程教學中的探討

周華軍

摘 要：在許多的零部件工程圖紙中可以看出，所有圖線都是零部件表面上對應線段的實長線。然而，并非零部件所有線段在圖樣中都反映實長，因此，必須能夠正確判斷線段的投影是否為實長，但很多教材都因為《機械制圖》課程教學課時的壓縮等原因，使學生對這部分知識點知之甚少，本文將著重闡述直角三角形法求線段實長，幫助學生掌握這種方法，從而達到激發學生的學習積極性。

關鍵詞：機械制圖 直角三角形法 線段實長

中圖分類號：U441+.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（a）-0210-02

在日常生活中，大家經常會發現有些物體不管從哪個方向看都會感覺到不能反映真形，所以在其工程圖紙中可以看到在三個投影面上的投影均具有類似性，既不能反映該線段的實際長度，也不能反映該線段對投影面傾角的一般位置直線，然而，在施工過程中必須按照實際長度進行加工生產，否則工程無法繼續開展下去。

對于一般位置直線，求其實長及其對投影面傾角的方法有三種：變換投影法（亦稱換面法）、直角三角形法和旋轉法，本文將著重闡述直角三角形法在V面和H面上經常要求反映線段實長的求解方法，結合自己多年的教學經驗，根據投影求出一般位置直線的實長和對投影面傾角的方法，并對實長、投影面傾角的求解規律進行總結，給想深入學習這方面知識的讀者提供幫助。

1 原理分析

如下圖1所示，在將一般位置直線AB向V面做正投影時，我們可以發現直線AB的實長、正面投影a′b′和A、B兩點的Y軸坐標之間組成了一個直角三角形，且直線的實長AB與正面投影之間的夾角就是空間直線與正面投影的真實夾角β角。并且直線的正面投影a′b′和其端點的ΔY在兩面投影中都是已知的，所以利用a′b′作為直角邊，以ΔY作為另一條直角邊，就能構成一個直角三角形，斜邊即為其真實長度，斜邊與正面投影之間的夾角就是空間直線AB與正面投影的真實夾角β角。以此類推，在H面和W面上做投影，也同樣可以構成直角三角形，即其原理是相同的，在此就不再一一累述。通過上述原理分析，我們可以把直角三角形理解為有四要素組成：即實長、傾角、投影長、坐標差值。

2 典型案例

案例一：

（1）如圖2所示，已知一般位置直線AB的兩面投影，求其實長及傾角α。

解法1（見圖3）：

①首先確定在H面上構建直角三角形，即取ab為一直角邊。

②在V面上作兩點的Z坐標的差值即ΔZ。

③將ΔZ值的大小截取到H面上與投影線ab構成直角，即為另一直角邊。

④最后連接兩開口的端點，所得線段長為其實長AB，AB與ab的夾角為α。

解法2（見圖4）：

①首先確定在V面上構建直角三角形。

②在V面上作兩點的Z坐標的差值即ΔZ為一直角邊。

③將H面上投影ab截取到V面上與ΔZ的直角邊構成直角，即為另一直角邊。

④最后連接兩開口的端點，所得線段長為其實長AB，AB與ab的夾角為α。

（2）如圖5所示，已知一般位置直線AB的兩面投影，求其實長及傾角β。

解法1（見圖6）：

①首先確定在V面上構建直角三角形，即投影a′b′為一直角邊。

②在H面上作兩點的Y坐標的差值即ΔY為一直角邊。

③將H面上ΔY的大小截取到V面上與投影a′b′的直角邊構成直角，即為另一直角邊。

④最后連接兩開口的端點，所得線段長為其實長AB，AB與ab的夾角為β。

解法2（見圖7）：

①首先確定在H面上構建直角三角形。

②在H面上作兩點的Y坐標的差值即ΔY為一直角邊。

③將V面上投影a′b′的大小截取到H面上，并于ΔY一直角邊構成直角，即為另一直角邊。

④最后連接兩開口的端點，所得線段長為其實長AB，AB與ab的夾角為β。

案例二：已知直線AB的實長為60 mm，且知投影a′b′及A點的水平投影點a，求直線AB的水平投影。

解：（1）思路分析：一般情況下解題有兩種思路即正推和反推，如果此題從給定條件ab可以得到A、B兩點的坐標差值，由此差作為一直角邊，實長作為斜邊，可以構成一直角三角形，則另一直角邊即為AB的水平投影長ab。如果此題本是求點B的水平投影，需要知道直線AB的水平投影長ab，要求ab的長度又需要知道直線AB的Z坐標差值和實長，而這兩項正好在給定條件中可以找到。

（2）作圖過程（見圖9）。

①以b′為圓心，60mm為半徑作弧，與過a′的水平線交于d，則cd為水平投影長ab。

②以a為圓心，cd為半徑作弧，交b′c的延長線于點b和b1兩點，連接ab或ab1即為直線AB的水平投影，故本題有兩解。

通過上述案例分析，我們可以總結出直角三角形法的作圖規律如下。

（1）以線段投影的長為一直角邊。

（2）以線段的兩端點相對于該投影面的距離差值為另一直角邊，該距離差值可以從線段的另一投影圖上截取。

（3）所作直角三角形的斜邊即是線段的實長。

（4）斜邊與該投影面的夾角就是線段與該投影面的傾角。

所以，在求夾角α時，必須要用線段水平投影長與該線段兩端點的高度坐標差值作直角三角形；在求夾角β時，必須要用線段正面投影長與該線段兩端點的前后坐標差值作直角三角形。同時也知道只要已知其中任意兩個要素，即可通過直角三角形求得另兩個要素。

3 結論

通過上述探討，我們可以知道直角三角形法是通過分析一般位置直線的空間位置與它的各個投影之間的關系，得到包含直線實長及其對投影面的傾角α、β、γ的直角三角形，以達到求解目的。

參考文獻

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