微積分教學幾個難點及其解決辦法

李尤發++張更容++尚晶

摘 要：揭示了微積分教學中出現的幾個難點問題，并給出相應的解決辦法。

關鍵詞：微積分 教學難點 極限定義 作業抄襲 學習積極性 題海戰術

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月擔任了經管類專業的微積分教學工作，總結了教學過程中出現的一些問題以及提出了相應的解決辦法。

第一，有很多學生在中學階段的知識準備難以快速適應微積分學習的要求。微積分的核心內容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內容之一。極限定義具體劃分有數列的定義和函數的定義。學生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數列項（或者函數值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預先給定的接近程度，數列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數極限，對給定的接近程度，總存在正數，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學生講解兩種類型的區域：-型區域和-型區域。積分區域D稱為-型區域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區域D稱為-型區域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區域和-型區域的并。

第二，學生作業抄襲的現象較嚴重。互聯網是把雙刃劍，在給我們工作、學習、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學環節尤其是課后作業完成質量提出了挑戰。可以這么說，只要教材上出現的習題，都能在網上找到解題過程。這給部分學生作業抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業不在教材課后習題上，也不參考習題冊。而是由教師根據學生的學習狀況，自適應地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學生找不到參考答案，只能獨立完成作業。其次，所布置的作業具有較強針對性。另外，也需要轉變作業的批改方式。一些簡單的作業，可以隨堂完成。為了進一步防堵學生之間的相互抄襲，課后作業，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學生積極性。由于數學具有高度的抽象性，造成許多學生感覺十分枯燥。數學本身是來自于生產實踐，學生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數學在實踐中的應用。為了解決這個問題，作者經常要求學生用Matlab編程實現微積分的一些定理結論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關鍵點是：（1） 對區間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機加分點，只要使得區間被分得越來細，當然，其中一個問題是，如何刻畫區間被細分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學生編程求函數的積分，對不同的區間分割方法和面積近似方法，當區間被充分細分時候，得到的求和值漸進相等。平面圖形的面積、旋轉體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結合點。作者在針對經管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設計到的知識點有：需求與供給函數，成本、收益與利潤函數，庫存函數，區間上函數的最值求解等。

第四，由于受到高中應試教育的影響，有部分學生認為學好微積分等同于題海戰術。其實，學好數學離不開一定量習題的練習，但是，多做練習絕不等于題海戰術，更加不是不考慮效率的情況下，進行大量的甚至是重復性的練習。具有這種心態的學生，往往那些急于求成，錯誤地認為只要我多做練習就可以達到某種結果。因為這種人的急功近利導致了他不追求質量只注重數量。當然這種題海戰術的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰術，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學數學、學好數學必須通過一定量的習題訓練，因為這是一個逐漸累積經驗以及鞏固所學的過程。

第五，正確處理課件與板書的關系。課件具有如下的優點：內容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學生的注意力。然而，數學本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當處理好課件與板書的關系，對于一些與邏輯推理關系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復雜計算等一定要板書講解。

參考文獻

[1] 段復建.微積分[M].科學出版社，2009.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應用算法[M].科學出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應用[M].北京大學出版社，2000.endprint

摘 要：揭示了微積分教學中出現的幾個難點問題，并給出相應的解決辦法。

關鍵詞：微積分 教學難點 極限定義 作業抄襲 學習積極性 題海戰術

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月擔任了經管類專業的微積分教學工作，總結了教學過程中出現的一些問題以及提出了相應的解決辦法。

第一，有很多學生在中學階段的知識準備難以快速適應微積分學習的要求。微積分的核心內容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內容之一。極限定義具體劃分有數列的定義和函數的定義。學生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數列項（或者函數值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預先給定的接近程度，數列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數極限，對給定的接近程度，總存在正數，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學生講解兩種類型的區域：-型區域和-型區域。積分區域D稱為-型區域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區域D稱為-型區域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區域和-型區域的并。

第二，學生作業抄襲的現象較嚴重。互聯網是把雙刃劍，在給我們工作、學習、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學環節尤其是課后作業完成質量提出了挑戰。可以這么說，只要教材上出現的習題，都能在網上找到解題過程。這給部分學生作業抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業不在教材課后習題上，也不參考習題冊。而是由教師根據學生的學習狀況，自適應地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學生找不到參考答案，只能獨立完成作業。其次，所布置的作業具有較強針對性。另外，也需要轉變作業的批改方式。一些簡單的作業，可以隨堂完成。為了進一步防堵學生之間的相互抄襲，課后作業，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學生積極性。由于數學具有高度的抽象性，造成許多學生感覺十分枯燥。數學本身是來自于生產實踐，學生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數學在實踐中的應用。為了解決這個問題，作者經常要求學生用Matlab編程實現微積分的一些定理結論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關鍵點是：（1） 對區間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機加分點，只要使得區間被分得越來細，當然，其中一個問題是，如何刻畫區間被細分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學生編程求函數的積分，對不同的區間分割方法和面積近似方法，當區間被充分細分時候，得到的求和值漸進相等。平面圖形的面積、旋轉體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結合點。作者在針對經管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設計到的知識點有：需求與供給函數，成本、收益與利潤函數，庫存函數，區間上函數的最值求解等。

第四，由于受到高中應試教育的影響，有部分學生認為學好微積分等同于題海戰術。其實，學好數學離不開一定量習題的練習，但是，多做練習絕不等于題海戰術，更加不是不考慮效率的情況下，進行大量的甚至是重復性的練習。具有這種心態的學生，往往那些急于求成，錯誤地認為只要我多做練習就可以達到某種結果。因為這種人的急功近利導致了他不追求質量只注重數量。當然這種題海戰術的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰術，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學數學、學好數學必須通過一定量的習題訓練，因為這是一個逐漸累積經驗以及鞏固所學的過程。

第五，正確處理課件與板書的關系。課件具有如下的優點：內容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學生的注意力。然而，數學本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當處理好課件與板書的關系，對于一些與邏輯推理關系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復雜計算等一定要板書講解。

參考文獻

[1] 段復建.微積分[M].科學出版社，2009.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應用算法[M].科學出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應用[M].北京大學出版社，2000.endprint

摘 要：揭示了微積分教學中出現的幾個難點問題，并給出相應的解決辦法。

關鍵詞：微積分 教學難點 極限定義 作業抄襲 學習積極性 題海戰術

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月擔任了經管類專業的微積分教學工作，總結了教學過程中出現的一些問題以及提出了相應的解決辦法。

第一，有很多學生在中學階段的知識準備難以快速適應微積分學習的要求。微積分的核心內容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內容之一。極限定義具體劃分有數列的定義和函數的定義。學生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數列項（或者函數值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預先給定的接近程度，數列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數極限，對給定的接近程度，總存在正數，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學生講解兩種類型的區域：-型區域和-型區域。積分區域D稱為-型區域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區域D稱為-型區域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區域和-型區域的并。

第二，學生作業抄襲的現象較嚴重。互聯網是把雙刃劍，在給我們工作、學習、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學環節尤其是課后作業完成質量提出了挑戰。可以這么說，只要教材上出現的習題，都能在網上找到解題過程。這給部分學生作業抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業不在教材課后習題上，也不參考習題冊。而是由教師根據學生的學習狀況，自適應地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學生找不到參考答案，只能獨立完成作業。其次，所布置的作業具有較強針對性。另外，也需要轉變作業的批改方式。一些簡單的作業，可以隨堂完成。為了進一步防堵學生之間的相互抄襲，課后作業，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學生積極性。由于數學具有高度的抽象性，造成許多學生感覺十分枯燥。數學本身是來自于生產實踐，學生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數學在實踐中的應用。為了解決這個問題，作者經常要求學生用Matlab編程實現微積分的一些定理結論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關鍵點是：（1） 對區間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機加分點，只要使得區間被分得越來細，當然，其中一個問題是，如何刻畫區間被細分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學生編程求函數的積分，對不同的區間分割方法和面積近似方法，當區間被充分細分時候，得到的求和值漸進相等。平面圖形的面積、旋轉體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結合點。作者在針對經管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設計到的知識點有：需求與供給函數，成本、收益與利潤函數，庫存函數，區間上函數的最值求解等。

第四，由于受到高中應試教育的影響，有部分學生認為學好微積分等同于題海戰術。其實，學好數學離不開一定量習題的練習，但是，多做練習絕不等于題海戰術，更加不是不考慮效率的情況下，進行大量的甚至是重復性的練習。具有這種心態的學生，往往那些急于求成，錯誤地認為只要我多做練習就可以達到某種結果。因為這種人的急功近利導致了他不追求質量只注重數量。當然這種題海戰術的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰術，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學數學、學好數學必須通過一定量的習題訓練，因為這是一個逐漸累積經驗以及鞏固所學的過程。

第五，正確處理課件與板書的關系。課件具有如下的優點：內容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學生的注意力。然而，數學本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當處理好課件與板書的關系，對于一些與邏輯推理關系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復雜計算等一定要板書講解。

參考文獻

[1] 段復建.微積分[M].科學出版社，2009.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟大學應用數學系.高等數學（本科少學時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應用算法[M].科學出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應用[M].北京大學出版社，2000.endprint