基于貨幣時(shí)間價(jià)值表的時(shí)間軸運(yùn)用研究

安陽(yáng)師范學(xué)院 陳 艷

貨幣時(shí)間價(jià)值是指貨幣隨著時(shí)間的推移而產(chǎn)生的價(jià)值增值，時(shí)間越長(zhǎng)，增值越多。貨幣時(shí)間價(jià)值的表現(xiàn)形式有多種：如果是一次性投入的款項(xiàng)，按照計(jì)息方式，有單利和復(fù)利之分，其中單利只對(duì)本金計(jì)息，而復(fù)利對(duì)本金所產(chǎn)生的利息也要計(jì)息；如果是定期等額收付款項(xiàng)，就是年金，按照收付的時(shí)間點(diǎn)，可進(jìn)一步分為普通年金、預(yù)付年金、遞延年金和永續(xù)年金，其中普通年金是指從第一年開(kāi)始，每年年末等額收付的年金形式，而預(yù)付年金則是從第一年開(kāi)始，每年年初等額收付的年金，遞延年金的第一次收付點(diǎn)不是第一年，永續(xù)年金沒(méi)有到期日。在多種貨幣時(shí)間價(jià)值的表現(xiàn)形式中，單利比復(fù)利的運(yùn)算簡(jiǎn)單，應(yīng)用較少，而年金中，普通年金是其它年金的基礎(chǔ)，所以，貨幣時(shí)間價(jià)值的研究重點(diǎn)在復(fù)利和普通年金上。

為了輔助貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算，就出現(xiàn)了貨幣時(shí)間價(jià)值表。貨幣時(shí)間價(jià)值表一般有四個(gè)，即一元復(fù)利終值表、一元復(fù)利現(xiàn)值表、一元年金終值表和一元年金現(xiàn)值表。其中，終值是指現(xiàn)在一定量的資金在未來(lái)某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值，而現(xiàn)值是指對(duì)未來(lái)的現(xiàn)金收付按照一定的折現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)后的現(xiàn)在價(jià)值。現(xiàn)筆者以10%的折現(xiàn)率為例列出其在若干期的四個(gè)系數(shù)表的相關(guān)數(shù)據(jù)。

表1 折現(xiàn)率i=10%時(shí)的貨幣時(shí)間價(jià)值表

初學(xué)貨幣時(shí)間價(jià)值，往往先要接觸這樣的貨幣時(shí)間價(jià)值表。對(duì)于這個(gè)表的查法，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)，一般都能快速地掌握。可是，對(duì)于表中各個(gè)數(shù)據(jù)的含義以及數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系，往往缺乏研究，也很難掌握。如果能夠通過(guò)一定的方法簡(jiǎn)單快速地掌握貨幣時(shí)間價(jià)值表中的數(shù)據(jù)，對(duì)于貨幣時(shí)間價(jià)值的深入了解和靈活運(yùn)用將會(huì)有很大的幫助。

一、貨幣時(shí)間價(jià)值表中時(shí)間軸的運(yùn)用

時(shí)間軸是研究貨幣時(shí)間價(jià)值的必要手段和輔助工具。圖1是一個(gè)簡(jiǎn)單的時(shí)間軸，在此軸中，起點(diǎn)0表示第一年年初，終點(diǎn)n表示第n年年末，除此兩點(diǎn)之外，其他的時(shí)間點(diǎn)都有兩個(gè)含義，既表示該年年末，又表示下年年初。如，時(shí)間點(diǎn)1即是第一年年末，又是第二年年初。

圖1 時(shí)間軸

運(yùn)用時(shí)間軸，能夠?qū)⒇泿艜r(shí)間價(jià)值表中的數(shù)據(jù)表示在這條軸上。下面把表1中折現(xiàn)率為10%，期數(shù)為第10期的四個(gè)數(shù)據(jù)分別表示在相應(yīng)的時(shí)間軸中。

圖2 折現(xiàn)率為10%，期數(shù)為10期的時(shí)間軸

以上四條時(shí)間軸中，第一條時(shí)間軸是當(dāng)折現(xiàn)率i=10%，期數(shù)n=10時(shí)的復(fù)利終值系數(shù)，其中2.5937的含義是指“如果在第一年年初投入1元錢，在年復(fù)利率為10%，每年復(fù)利一次的情況下，到第十年年末的本利和就是2.5937元”。

第二條時(shí)間軸是當(dāng)折現(xiàn)率i=10%，期數(shù)n=10時(shí)的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，其中0.3855的含義是指“如果想十年后的本利和達(dá)到1元錢，在年復(fù)利率為10%，每年復(fù)利一次的情況下，第一年年初要投入0.3855元”。

第三條時(shí)間軸是當(dāng)折現(xiàn)率i=10%，期數(shù)n=10時(shí)的年金終值系數(shù)，其中15.9374的含義是指“如果從第一年開(kāi)始，每年年末投入1元錢，共投入十年，在年復(fù)利率為10%，每年復(fù)利一次的情況下，到第十年年末的本利和就是15.9374元”。

第四條時(shí)間軸是當(dāng)折現(xiàn)率i=10%，期數(shù)n=10時(shí)的年金現(xiàn)值系數(shù)，其中6.1446的含義是指“如果從第一年開(kāi)始，每年年末投入1元錢，共投入十年，在年復(fù)利率為10%，每年復(fù)利一次的情況下，折現(xiàn)到第一年年初就是6.1446元”。

通過(guò)時(shí)間軸，了解了貨幣時(shí)間價(jià)值表中每個(gè)數(shù)據(jù)的含義，下一步就要研究這些數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系了。

二、貨幣時(shí)間價(jià)值表中各數(shù)據(jù)的關(guān)系

（一）復(fù)利終值與現(xiàn)值的關(guān)系 從圖2中前兩條時(shí)間軸上可以看出，第一年年初的1元錢到第十年年末就成了2.5937元，那么，如果十年后要有1元錢，第一年年初就要投入1/2.5937元，而這個(gè)結(jié)果正好就是0.3855元。所以說(shuō)，復(fù)利終值與現(xiàn)值互為倒數(shù)關(guān)系。

（二）年金終值與現(xiàn)值的關(guān)系 在圖2的后兩條時(shí)間軸上，從第一年開(kāi)始，每年年末投入1元錢，共十年，折算到第十年年末就是15.9374元，而折現(xiàn)到第一年年初則是6.1446元。這里的15.9374和6.1446的關(guān)系其實(shí)就是分別互為終值和現(xiàn)值，即：15.9374×（P/F,10%,10）=15.9374×0.3855≈6.1446；6.1446×（F/P,10%,10）=6.1446×2.5937≈15.9374。

（三）復(fù)利與年金的關(guān)系（1）復(fù)利終值與年金終值的關(guān)系。圖2中第三條時(shí)間軸是10年期的年金終值系數(shù)，從圖中可看出它等于從第1點(diǎn)到第10點(diǎn)各點(diǎn)投入1元錢的復(fù)利終值之和，而在第一條復(fù)利終值時(shí)間軸中，10年期的復(fù)利終值系數(shù)的資金投入點(diǎn)是在0點(diǎn)。這就說(shuō)明，年金終值系數(shù)應(yīng)該是從9年期到8年期，一直到0年期各期復(fù)利終值系數(shù)之和，即15.9374=2.3579+2.1436+1.9487+1.7716+1.6105+1.4641+1.3310+1.2100+1.1000+1。

（2）復(fù)利現(xiàn)值與年金現(xiàn)值的關(guān)系。圖2中第四條時(shí)間軸是10年期的年金現(xiàn)值系數(shù)，從圖中可看出它等于從第1點(diǎn)到第10點(diǎn)各點(diǎn)投入1元錢的復(fù)利現(xiàn)值之和，而在第二條復(fù)利現(xiàn)值時(shí)間軸中，10年期的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的1元錢所在的點(diǎn)是在第10點(diǎn)。這就說(shuō)明，年金現(xiàn)值系數(shù)應(yīng)該是從10年期到9年期，一直到1年期各期復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之和，即6.1446=0.3855+0.4241+0.4665+0.5132+0.5645+0.6209+0.6830+0.7513+0.8264+0.9091。

（四）普通年金與預(yù)付年金的關(guān)系 預(yù)付年金是指發(fā)生在每期期初的等額收付款項(xiàng)，相對(duì)于發(fā)生在每期期末的等額收付款項(xiàng)普通年金而言，無(wú)論是終值還是現(xiàn)值，都是多計(jì)了一期的利息。所以預(yù)付年金終值=（F/A，i，n）×（1+i），預(yù)付年金現(xiàn)值=（P/A，i，n）×（1+i）。如果查年金系數(shù)表的話，預(yù)付年金終值系數(shù)應(yīng)該在普通年金終值的基礎(chǔ)上，期數(shù)加1，整體系數(shù)再減1得到；而預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)應(yīng)該在普通年金現(xiàn)值的基礎(chǔ)上，期數(shù)減1，整體系數(shù)再加1得到。比如說(shuō)，要得到折現(xiàn)率為10%，期數(shù)為10期的預(yù)付年金終值，要先查期數(shù)為11期的年金終值系數(shù)，找到18.5312，再減去1得到17.5312；要得到折現(xiàn)率為10%，期數(shù)為10期的預(yù)付年金現(xiàn)值，要先查期數(shù)為9期的年金現(xiàn)值系數(shù)，找到5.7590，再加上1得到6.7590。

三、以時(shí)間軸反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系

（一）正負(fù)時(shí)間軸的運(yùn)用——反映互為倒數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù) 對(duì)于時(shí)間軸，常見(jiàn)的都是正的時(shí)間軸，下面筆者引入一種負(fù)的時(shí)間軸，如下圖3所示。

圖3 負(fù)時(shí)間軸

在圖3中，起點(diǎn)-n表示前n年的年末，終點(diǎn)0表示去年的年末，同時(shí)也是今年的年初，也就是現(xiàn)在所處的時(shí)間點(diǎn)，其他的時(shí)間點(diǎn)都有兩個(gè)含義，一是表示前1年的年末，二是表示該年的年初。比如說(shuō)，時(shí)間點(diǎn)1即是前年的年末，又是去年的年初。

通過(guò)負(fù)時(shí)間軸和正時(shí)間軸的結(jié)合形成的綜合時(shí)間軸，就能夠在一條軸上同時(shí)反映出互為倒數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)。在貨幣時(shí)間價(jià)值體系中，互為倒數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)一共有三對(duì)，除了前文提到的復(fù)利終值和復(fù)利現(xiàn)值互為倒數(shù)外，年金終值系數(shù)與年償債基金系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)與年資本回收系數(shù)也互為倒數(shù)關(guān)系。下面筆者還是以折現(xiàn)率為10%，期數(shù)為10期的情況，列出三條正負(fù)時(shí)間軸來(lái)表示三組互為倒數(shù)的數(shù)據(jù)，如下圖4、5、6所示。

圖4 折現(xiàn)率為10%時(shí)的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)和復(fù)利終值系數(shù)

圖4中，如果前十年年末投入0.3855元，在年復(fù)利率為10%的情況下，到今年年初，本利和就達(dá)到了1元錢；今年年初的1元錢，在年復(fù)利率為10%的情況下，到第10年年末，本利和就是2.5937元。其中的0.3855和2.5937分別是復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)和復(fù)利終值系數(shù)，兩者互為倒數(shù)。

圖5 折現(xiàn)率為10%時(shí)的年償債基金系數(shù)和年金終值系數(shù)

圖5中，如果從前10年的年初開(kāi)始，每年年初投入1/15.9374元，連續(xù)10年，一直到今年年初，在年復(fù)利率為10%的情況下，到今年年初，本利和為1元錢；從今年年末開(kāi)始，每年年末投入1元錢，連續(xù)10年，一直到第10年年末，在年復(fù)利率為10%的情況下，到第10年年末的本利和為15.9374元。其中的1/15.9374和15.9374分別是年償債基金系數(shù)和年金終值系數(shù)，兩者互為倒數(shù)。

圖6 折現(xiàn)率為10%時(shí)的年資本回收系數(shù)和年金現(xiàn)值系數(shù)

圖6中，如果從前10年的年初開(kāi)始，每年年初投入1/6.1446元，連續(xù)10年，一直到今年年初，在年復(fù)利率為10%的情況下，折現(xiàn)到前10年年末，就是1元；從今年年末開(kāi)始，每年年末投入1元錢，連續(xù)10年，一直到第10年年末，在年復(fù)利率為10%的情況下，折現(xiàn)到今年年初就是6.1446元。其中的1/6.1446和6.1446分別是年資本回收系數(shù)和年金現(xiàn)值系數(shù)，兩者互為倒數(shù)。

通過(guò)以上3個(gè)正負(fù)時(shí)間軸，就把三種互為倒數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)以及他們之間的換算關(guān)系完整地反映在一起了。

（二）綜合時(shí)間軸的運(yùn)用——反映互為現(xiàn)值和終值關(guān)系的數(shù)據(jù) 貨幣時(shí)間價(jià)值體系中，互為現(xiàn)值和終值關(guān)系的數(shù)據(jù)有兩對(duì)：普通年金現(xiàn)值與終值、預(yù)付年金現(xiàn)值與終值。可以在一條時(shí)間軸上反映出兩者的關(guān)系來(lái)，如下圖7、8所示。

圖7 普通年金現(xiàn)值系數(shù)與終值系數(shù)

圖7中，從第1年開(kāi)始，每年年末投入1元錢，連續(xù)10年，在年復(fù)利率為10%的情況下，到第10年年末，本利和達(dá)到15.9374元；如果折現(xiàn)到第1年年初的話，則是6.1446元。從時(shí)間軸上可以看出，15.9374在第10點(diǎn)，6.1446在0點(diǎn)，兩者剛好就是終值和現(xiàn)值的關(guān)系。

圖8 預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)與終值系數(shù)

圖8中，從第1年開(kāi)始，每年年初投入1元錢，連續(xù)10年，在年復(fù)利率為10%的情況下，到第10年年末，本利和達(dá)到17.5312元；如果折現(xiàn)到第1年年初的話，則是6.7590元。從時(shí)間軸上可以看出，17.5312在第10點(diǎn)，6.7590在0點(diǎn)，兩者也是終值和現(xiàn)值的關(guān)系。

（三）綜合時(shí)間軸的運(yùn)用——反映普通年金與預(yù)付年金的關(guān)系 無(wú)論是預(yù)付年金終值還是現(xiàn)值，都是在普通年金終值和現(xiàn)值的基礎(chǔ)上多計(jì)了1期利息，同樣也可以在同一條時(shí)間軸上反映出這個(gè)聯(lián)系，如下圖9、10所示。

圖9 普通年金終值系數(shù)與預(yù)付年金終值系數(shù)

在圖9中，10個(gè)1元錢的資金投入點(diǎn)是一樣的，都是從1到10十個(gè)點(diǎn)，折現(xiàn)率也一樣，都是10%，但是，由于代表的含義不一樣，就會(huì)在不同的點(diǎn)產(chǎn)生不同的終值。如果把這十個(gè)點(diǎn)看作是每年年末，亦即從第1年年末開(kāi)始，一直到第10年末為止，這就是普通年金，到第10年年末，普通年金的終值就是在第10點(diǎn)的15.9374元；如果把這十個(gè)點(diǎn)看作是每年年初，亦即從第2年年初開(kāi)始，一直到第11年初為止，這就是預(yù)付年金，到第11年年末，預(yù)付年金的終值就是在第11點(diǎn)的17.5312元。從時(shí)間軸上看，15.9374與17.5312剛好相差一期，兩者的關(guān)系是15.9374×（1+10%）=17.5312。

圖10 普通年金現(xiàn)值系數(shù)與預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)

在圖10中，10個(gè)1元錢的資金投入點(diǎn)是一樣的，都是從1到10十個(gè)點(diǎn)，折現(xiàn)率也一樣，都是10%，但也是由于代表的含義不一樣，就會(huì)在不同的點(diǎn)產(chǎn)生不同的現(xiàn)值。如果把這十個(gè)點(diǎn)看作是每年年末，亦即從第1年年末開(kāi)始，一直到第10年末為止，這就是普通年金，折現(xiàn)到第1年年初，普通年金的現(xiàn)值就是在第0點(diǎn)的6.1446元；如果把這十個(gè)點(diǎn)看作是每年年初，亦即從第2年年初開(kāi)始，一直到第11年初為止，這就是預(yù)付年金，折現(xiàn)到第2年年初，預(yù)付年金的現(xiàn)值就是在第1點(diǎn)的6.7590元。從時(shí)間軸上看，6.1446與6.7590剛好相差一期，兩者的關(guān)系是6.1446×（1+10%）=6.7590。

通過(guò)以上的分析，如果能夠巧妙運(yùn)用時(shí)間軸，就能夠把復(fù)雜的貨幣時(shí)間價(jià)值表中的數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)之間的關(guān)系體現(xiàn)在一條條簡(jiǎn)單的線段上，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果。

［1］毛付根：《管理會(huì)計(jì)》，高等教育出版社2007年版。