理清數列函數關系 巧探數列最值解法

薛勝菊

（河北棗強中學，河北 棗強 053100）

數列在高中數學中可以說是“叱咤風云”，具有深刻的內涵與豐富的外延，在應用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力.從近幾年新課標高考來看，數列的考查逐漸趨向于簡單化，但是數列求最值，卻成了高考命題的熱點，也成了聯系數列與函數單調性、導數應用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.本文主要談談數列求最值的幾個常規解法，供讀者參考.

一、均值定理求數列中項的最值

例1（2013屆閔行區二模）公差為d，各項均為正整數的等差數列{an}中，若a1=1，an=73，則n+d的最小值等于（ ）.

解：Q a1=1，an=73，∴（n-1）+1，∴n=9時，n+d取最小值18.

點評：利用式子特征構造均值定理應用環境，適用于所求式子為齊次分式，或分子分母一、二次能分離的，可以構造均值定理的數列求最值問題.

【變式1】設a1，a2，…，a2007均為正實數，且，則a1a2…a2007的最小值是（ ） .

二、函數性質法求解數列最值

例2（2013江蘇理14題）在正項等比數列{an}中，a5=，a6+a7=3，則滿足a1+a2+L+an＞a1a2Lan的最大正整數n的值為_______.

解法二：設等比數列{an}的公比q，則q>0，根據題意得化簡得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），∴a1=2-5，又∵a1·a2·…·，又Qa1+a2+…+an＞a1·a2·…·an，所以，將n=1，2，3，…帶入驗證發現n≥13時上述不等式成立.故n取最大整數12.

點評：數列是特殊的函數，若其通項或前n項和有明確的函數解析式時，一般考慮用函數的單調性質求取最值，但要注意自變量n的取值范圍.一般情況下用作差或作商來證明單調性求解，有時也用導數來證明.本題易忽視公比的取值范圍而致錯，對指數冪的運算性質不熟也會導致錯誤.

【變式2】已知數列{an}滿足，數列{an}的最大項為_______.

三、導數法在數列求最值當中的應用

例3[2013新課標Ⅱ卷（理）]等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_______.

點評：導數法求數列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判斷單調性的題型，是利用函數性質求數列最值的一種特況，作為研究數列和函數的橋梁，使問題解決便捷.

【變式3】 （2013年浙江省高中數學競賽試題解答）數列，2，L，則數列中最大項的值為（ ）.

四、數列特性法求解最值

例4 （2011北約13校自主選拔）在等差數列 {an}中，a3=-13，a7=3，數列{an}的前n項和為Sn，求數列{Sn}的最小項，并指出其值為何.

解：因為a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，

點評：等差數列求解最值問題，一般利用等差數列的特性、單調性或其前n項和的二次函數性質求解最方便.

總之，數列最值問題求法多種多樣，運用技巧靈活，知識綜合性強，它成為數列與函數單調性、導數應用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.均值定理法、函數性質法、導數法等都巧妙地把數列求最值轉化成了函數最值問題，并且數列本身性質也為求取最值開辟了巧妙的思路.