簡析利用均值不等式求最值

吳炳龍

數學知識的學習與其他科目最大的不同就在于它有高度的抽象性和概括性.制約數學教學的往往就是學生無法抽象或具體概括地思考問題.這時候，教師可以根據教學內容，合理適當地整合資源，為學生舉例具體分析.舉例分析要合理，不能超出學生的認知水平，還要能引起學生的興趣，調動起學生的探究熱情和學習的主動性，這樣才能比較好的引入探究學習的內容.

不等式是高中數學的一個重要組成部分，是分析、解決有關數學問題的基礎與工具.經過實踐探索總結后發現，高中數學中關于對不等式的性質的考查部分，主要涉及以下問題：（1）根據給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立.（2）利用不等式的性質及實數的性質，函數性質，判斷實數值的大小.（3）利用不等式的性質，判斷不等式變換中條件與結論間的充分或必要關系.

一般而言，證明不等式的過程就是從條件出發實施一系列的推出變換的過程.解不等式的過程就是施行一系列的等價變換的過程.不等式的解法也不止一種，在此就均值不等式問題進行探討.

均值不等式是一個重要的不等式，利用它可以求解函數最值問題.對于有些題目，可以直接利用公式求解.有些題目必須進行必要的變形，才能利用均值不等式求解.

下面就如何利用均值不等式求最值簡析幾種常用的方法.

1.配湊法

在運用均值不等式解題時，我們經常會遇到題中一些不便于套用公式的地方，或者不便于利用的題設條件，此時需要對題中的式子適當進行配湊變形.“配湊”是一種重要的數學思想方法，以此思想為指引，可以引發出種種解題技巧.

2.整體代換法

整體代換法在代數式求值題中是比較常見的應用方法，主要表現為用與“整體”等值的數、字母或其他代數式來代換“整體”的一種方法，恰當地運用這種方法，可化難為易.

分析：在本題中，由于涉及分式比較復雜，首先讓人咋一看覺得頭暈眼花，心驚膽戰，更不敢輕易嘗試.且求證式子較長；證明起來也很容易出錯，因此，可以采用整體代換法，證明起來就變得比較簡單.證明略.

3.換元法

一般來說，在解高次方程時，都可以使用換元法使方程次數降低.也可以應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用.在解決不等式恒成立問題時，還可以使用“判別式法”.一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點.

以上幾個方法只是解不等式最值問題的幾種基本方法，學生在遇到具體問題時，還需要具體問題具體分析，以便采用最簡單合理的方法正確求解.

高中學生的數學思維習慣基本上已養成，輕易很難改變.但是每個人都渴望得到別人的肯定，高中學生思維活躍，跳躍性強，正是培養慣性邏輯思維能力的最佳時期，數學教師如果能夠巧妙合理地運用典型例題，引導學生有針對性地總結幾種常見的利用均值不等式求解的方法，可以在一定程度上減少解題的運算量，化繁為簡，節省時間.

掌握均值不等式求最值問題的基本方法是一把雙刃劍，在為學生解題提供方便的同時，也可能會使學生形成思維定式.采用多種方法激發學生學習數學的熱情和創造性思維，會使學生受益終生，但我仍然相信讓學生掌握利用均值不等式求最值問題的方法是很有必要的.

數學知識的學習與其他科目最大的不同就在于它有高度的抽象性和概括性.制約數學教學的往往就是學生無法抽象或具體概括地思考問題.這時候，教師可以根據教學內容，合理適當地整合資源，為學生舉例具體分析.舉例分析要合理，不能超出學生的認知水平，還要能引起學生的興趣，調動起學生的探究熱情和學習的主動性，這樣才能比較好的引入探究學習的內容.

不等式是高中數學的一個重要組成部分，是分析、解決有關數學問題的基礎與工具.經過實踐探索總結后發現，高中數學中關于對不等式的性質的考查部分，主要涉及以下問題：（1）根據給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立.（2）利用不等式的性質及實數的性質，函數性質，判斷實數值的大小.（3）利用不等式的性質，判斷不等式變換中條件與結論間的充分或必要關系.

一般而言，證明不等式的過程就是從條件出發實施一系列的推出變換的過程.解不等式的過程就是施行一系列的等價變換的過程.不等式的解法也不止一種，在此就均值不等式問題進行探討.

均值不等式是一個重要的不等式，利用它可以求解函數最值問題.對于有些題目，可以直接利用公式求解.有些題目必須進行必要的變形，才能利用均值不等式求解.

下面就如何利用均值不等式求最值簡析幾種常用的方法.

1.配湊法

在運用均值不等式解題時，我們經常會遇到題中一些不便于套用公式的地方，或者不便于利用的題設條件，此時需要對題中的式子適當進行配湊變形.“配湊”是一種重要的數學思想方法，以此思想為指引，可以引發出種種解題技巧.

2.整體代換法

整體代換法在代數式求值題中是比較常見的應用方法，主要表現為用與“整體”等值的數、字母或其他代數式來代換“整體”的一種方法，恰當地運用這種方法，可化難為易.

分析：在本題中，由于涉及分式比較復雜，首先讓人咋一看覺得頭暈眼花，心驚膽戰，更不敢輕易嘗試.且求證式子較長；證明起來也很容易出錯，因此，可以采用整體代換法，證明起來就變得比較簡單.證明略.

3.換元法

一般來說，在解高次方程時，都可以使用換元法使方程次數降低.也可以應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用.在解決不等式恒成立問題時，還可以使用“判別式法”.一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點.

以上幾個方法只是解不等式最值問題的幾種基本方法，學生在遇到具體問題時，還需要具體問題具體分析，以便采用最簡單合理的方法正確求解.

高中學生的數學思維習慣基本上已養成，輕易很難改變.但是每個人都渴望得到別人的肯定，高中學生思維活躍，跳躍性強，正是培養慣性邏輯思維能力的最佳時期，數學教師如果能夠巧妙合理地運用典型例題，引導學生有針對性地總結幾種常見的利用均值不等式求解的方法，可以在一定程度上減少解題的運算量，化繁為簡，節省時間.

掌握均值不等式求最值問題的基本方法是一把雙刃劍，在為學生解題提供方便的同時，也可能會使學生形成思維定式.采用多種方法激發學生學習數學的熱情和創造性思維，會使學生受益終生，但我仍然相信讓學生掌握利用均值不等式求最值問題的方法是很有必要的.

數學知識的學習與其他科目最大的不同就在于它有高度的抽象性和概括性.制約數學教學的往往就是學生無法抽象或具體概括地思考問題.這時候，教師可以根據教學內容，合理適當地整合資源，為學生舉例具體分析.舉例分析要合理，不能超出學生的認知水平，還要能引起學生的興趣，調動起學生的探究熱情和學習的主動性，這樣才能比較好的引入探究學習的內容.

不等式是高中數學的一個重要組成部分，是分析、解決有關數學問題的基礎與工具.經過實踐探索總結后發現，高中數學中關于對不等式的性質的考查部分，主要涉及以下問題：（1）根據給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立.（2）利用不等式的性質及實數的性質，函數性質，判斷實數值的大小.（3）利用不等式的性質，判斷不等式變換中條件與結論間的充分或必要關系.

一般而言，證明不等式的過程就是從條件出發實施一系列的推出變換的過程.解不等式的過程就是施行一系列的等價變換的過程.不等式的解法也不止一種，在此就均值不等式問題進行探討.

均值不等式是一個重要的不等式，利用它可以求解函數最值問題.對于有些題目，可以直接利用公式求解.有些題目必須進行必要的變形，才能利用均值不等式求解.

下面就如何利用均值不等式求最值簡析幾種常用的方法.

1.配湊法

在運用均值不等式解題時，我們經常會遇到題中一些不便于套用公式的地方，或者不便于利用的題設條件，此時需要對題中的式子適當進行配湊變形.“配湊”是一種重要的數學思想方法，以此思想為指引，可以引發出種種解題技巧.

2.整體代換法

整體代換法在代數式求值題中是比較常見的應用方法，主要表現為用與“整體”等值的數、字母或其他代數式來代換“整體”的一種方法，恰當地運用這種方法，可化難為易.

分析：在本題中，由于涉及分式比較復雜，首先讓人咋一看覺得頭暈眼花，心驚膽戰，更不敢輕易嘗試.且求證式子較長；證明起來也很容易出錯，因此，可以采用整體代換法，證明起來就變得比較簡單.證明略.

3.換元法

一般來說，在解高次方程時，都可以使用換元法使方程次數降低.也可以應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用.在解決不等式恒成立問題時，還可以使用“判別式法”.一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點.

以上幾個方法只是解不等式最值問題的幾種基本方法，學生在遇到具體問題時，還需要具體問題具體分析，以便采用最簡單合理的方法正確求解.

高中學生的數學思維習慣基本上已養成，輕易很難改變.但是每個人都渴望得到別人的肯定，高中學生思維活躍，跳躍性強，正是培養慣性邏輯思維能力的最佳時期，數學教師如果能夠巧妙合理地運用典型例題，引導學生有針對性地總結幾種常見的利用均值不等式求解的方法，可以在一定程度上減少解題的運算量，化繁為簡，節省時間.

掌握均值不等式求最值問題的基本方法是一把雙刃劍，在為學生解題提供方便的同時，也可能會使學生形成思維定式.采用多種方法激發學生學習數學的熱情和創造性思維，會使學生受益終生，但我仍然相信讓學生掌握利用均值不等式求最值問題的方法是很有必要的.