初中數(shù)學案例中運用解題思想策略

顧彩霞

案例教學是初中數(shù)學課堂教學的重要形式之一，學生在解答分析數(shù)學問題案例的過程中，逐步對解題思路、解題方法、解題策略等方面進行歸納、總結(jié)和提煉，最終形成具有一定條理性、策略性、方法性和深刻性的解題思想策略.在初中數(shù)學問題案例解答分析活動進程中，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想有著深刻廣泛的應(yīng)用.教學實踐證明，學生在解析問題案例的過程中，進行解題思想策略的有效運用，是學生學習能力素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，也是學生智力水平的重要體現(xiàn).

現(xiàn)就初中數(shù)學案例教學中數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想策略的運用進行簡要論述.

一、數(shù)形結(jié)合解題思想策略的運用

數(shù)學知識內(nèi)容，可以通過形象直觀的圖形符號進行展示，也可以通過生動精確的數(shù)學語言進行表現(xiàn).數(shù)學學科“數(shù)”的精確性與“形”的直觀性，在問題案例解答中，可以通過“以數(shù)補形”、“以形促數(shù)”的數(shù)形互補方法進行運用.在平面幾何、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及正反比例函數(shù)等案例教學中，可以借助數(shù)的精確性和形的直觀性，運用數(shù)形結(jié)合解題思想策略進行解答.

問題：設(shè)兩圓半徑分別為2和5，圓心距d使點A（6-2d，7-d）在第二象限，試判斷兩個圓之間的位置關(guān)系.

分析：上述問題是關(guān)于圓與圓之間的位置關(guān)系問題案例，問題條件只說明了兩圓的一些基本情況，此時，在判斷者兩個圓位置關(guān)系時，可以通過作圖的方法，結(jié)合題意作出相應(yīng)的圖形，根據(jù)問題條件，通過數(shù)形結(jié)合解題策略，由點A在第二象限，可以得到d的取值范圍，然后再結(jié)合與兩圓的半徑和與差進行比較，從而確定出兩圓之間的位置關(guān)系.

二、分類討論解題思想策略的運用

分類討論解題思想策略在數(shù)學問題案例教學中運用廣泛，當我們在解答問題過程中，出現(xiàn)幾種不同的問題或條件，此時就需要按照和結(jié)合問題條件要求，進行情況分類，并逐一研究解決.這一進程中，就滲透了分類討論解題思想策略.

三、轉(zhuǎn)化化歸解題思想策略的運用

數(shù)學學科知識點之間聯(lián)系深刻，關(guān)系密切，在解答問題過程中，借助于數(shù)學知識點深刻關(guān)聯(lián)性，將較難問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.如一次函數(shù)問題案例，可以利用一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）關(guān)系，進行解題思路轉(zhuǎn)化，將一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）案例進行解答.

問題：如圖，以正方形ABCD平行于邊的對稱軸為坐標軸建立直角坐標系，若正方形的邊長為4.（1）求過B、E、F三點的二次函數(shù)的解析式；（2）求此拋物線的頂點坐標.

分析：這是關(guān)于運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及運用正方形的性質(zhì)求解問題的案例，在解答該問題（1）時，可以根據(jù)B、E、F三點的坐標，設(shè)該函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，并將三個點的坐標數(shù)帶入其中，即可求解；第（2）小題可以利用函數(shù)解析式頂點的求解方法，把函數(shù)解析式化為頂點式后即可得出答案.

四、方程解題思想策略的運用

在求解數(shù)學問題案例過程中，從問題的數(shù)量關(guān)系入手，從已知量和未知量之間找出相等關(guān)系，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

問題：已知有一個拋物線，它與x軸的兩個交點分別是A（-2，0）、B（1，0），并且都經(jīng)過點C（2，8）.（1）試求出這個拋物線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線頂點的求解方法，求出這個拋物線的頂點坐標.

分析：這是一道關(guān)于二次函數(shù)方面的案例，如果單從題意上理解，進行拋物線的函數(shù)解析式求解，較為困難.根據(jù)問題條件及解題要求，教師可以借助于二次函數(shù)與方程組之間的關(guān)系，將二次函數(shù)解析式的求解方法變?yōu)榱蟹匠探M解題的方法，通過解方程組求出函數(shù)解析式.在這一過程中，教師通過運用方程思想對問題進行了有效解答.

案例教學是初中數(shù)學課堂教學的重要形式之一，學生在解答分析數(shù)學問題案例的過程中，逐步對解題思路、解題方法、解題策略等方面進行歸納、總結(jié)和提煉，最終形成具有一定條理性、策略性、方法性和深刻性的解題思想策略.在初中數(shù)學問題案例解答分析活動進程中，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想有著深刻廣泛的應(yīng)用.教學實踐證明，學生在解析問題案例的過程中，進行解題思想策略的有效運用，是學生學習能力素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，也是學生智力水平的重要體現(xiàn).

現(xiàn)就初中數(shù)學案例教學中數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想策略的運用進行簡要論述.

一、數(shù)形結(jié)合解題思想策略的運用

數(shù)學知識內(nèi)容，可以通過形象直觀的圖形符號進行展示，也可以通過生動精確的數(shù)學語言進行表現(xiàn).數(shù)學學科“數(shù)”的精確性與“形”的直觀性，在問題案例解答中，可以通過“以數(shù)補形”、“以形促數(shù)”的數(shù)形互補方法進行運用.在平面幾何、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及正反比例函數(shù)等案例教學中，可以借助數(shù)的精確性和形的直觀性，運用數(shù)形結(jié)合解題思想策略進行解答.

問題：設(shè)兩圓半徑分別為2和5，圓心距d使點A（6-2d，7-d）在第二象限，試判斷兩個圓之間的位置關(guān)系.

分析：上述問題是關(guān)于圓與圓之間的位置關(guān)系問題案例，問題條件只說明了兩圓的一些基本情況，此時，在判斷者兩個圓位置關(guān)系時，可以通過作圖的方法，結(jié)合題意作出相應(yīng)的圖形，根據(jù)問題條件，通過數(shù)形結(jié)合解題策略，由點A在第二象限，可以得到d的取值范圍，然后再結(jié)合與兩圓的半徑和與差進行比較，從而確定出兩圓之間的位置關(guān)系.

二、分類討論解題思想策略的運用

分類討論解題思想策略在數(shù)學問題案例教學中運用廣泛，當我們在解答問題過程中，出現(xiàn)幾種不同的問題或條件，此時就需要按照和結(jié)合問題條件要求，進行情況分類，并逐一研究解決.這一進程中，就滲透了分類討論解題思想策略.

三、轉(zhuǎn)化化歸解題思想策略的運用

數(shù)學學科知識點之間聯(lián)系深刻，關(guān)系密切，在解答問題過程中，借助于數(shù)學知識點深刻關(guān)聯(lián)性，將較難問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.如一次函數(shù)問題案例，可以利用一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）關(guān)系，進行解題思路轉(zhuǎn)化，將一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）案例進行解答.

問題：如圖，以正方形ABCD平行于邊的對稱軸為坐標軸建立直角坐標系，若正方形的邊長為4.（1）求過B、E、F三點的二次函數(shù)的解析式；（2）求此拋物線的頂點坐標.

分析：這是關(guān)于運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及運用正方形的性質(zhì)求解問題的案例，在解答該問題（1）時，可以根據(jù)B、E、F三點的坐標，設(shè)該函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，并將三個點的坐標數(shù)帶入其中，即可求解；第（2）小題可以利用函數(shù)解析式頂點的求解方法，把函數(shù)解析式化為頂點式后即可得出答案.

四、方程解題思想策略的運用

在求解數(shù)學問題案例過程中，從問題的數(shù)量關(guān)系入手，從已知量和未知量之間找出相等關(guān)系，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

問題：已知有一個拋物線，它與x軸的兩個交點分別是A（-2，0）、B（1，0），并且都經(jīng)過點C（2，8）.（1）試求出這個拋物線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線頂點的求解方法，求出這個拋物線的頂點坐標.

分析：這是一道關(guān)于二次函數(shù)方面的案例，如果單從題意上理解，進行拋物線的函數(shù)解析式求解，較為困難.根據(jù)問題條件及解題要求，教師可以借助于二次函數(shù)與方程組之間的關(guān)系，將二次函數(shù)解析式的求解方法變?yōu)榱蟹匠探M解題的方法，通過解方程組求出函數(shù)解析式.在這一過程中，教師通過運用方程思想對問題進行了有效解答.

案例教學是初中數(shù)學課堂教學的重要形式之一，學生在解答分析數(shù)學問題案例的過程中，逐步對解題思路、解題方法、解題策略等方面進行歸納、總結(jié)和提煉，最終形成具有一定條理性、策略性、方法性和深刻性的解題思想策略.在初中數(shù)學問題案例解答分析活動進程中，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想有著深刻廣泛的應(yīng)用.教學實踐證明，學生在解析問題案例的過程中，進行解題思想策略的有效運用，是學生學習能力素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，也是學生智力水平的重要體現(xiàn).

現(xiàn)就初中數(shù)學案例教學中數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程等解題思想策略的運用進行簡要論述.

一、數(shù)形結(jié)合解題思想策略的運用

數(shù)學知識內(nèi)容，可以通過形象直觀的圖形符號進行展示，也可以通過生動精確的數(shù)學語言進行表現(xiàn).數(shù)學學科“數(shù)”的精確性與“形”的直觀性，在問題案例解答中，可以通過“以數(shù)補形”、“以形促數(shù)”的數(shù)形互補方法進行運用.在平面幾何、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及正反比例函數(shù)等案例教學中，可以借助數(shù)的精確性和形的直觀性，運用數(shù)形結(jié)合解題思想策略進行解答.

問題：設(shè)兩圓半徑分別為2和5，圓心距d使點A（6-2d，7-d）在第二象限，試判斷兩個圓之間的位置關(guān)系.

分析：上述問題是關(guān)于圓與圓之間的位置關(guān)系問題案例，問題條件只說明了兩圓的一些基本情況，此時，在判斷者兩個圓位置關(guān)系時，可以通過作圖的方法，結(jié)合題意作出相應(yīng)的圖形，根據(jù)問題條件，通過數(shù)形結(jié)合解題策略，由點A在第二象限，可以得到d的取值范圍，然后再結(jié)合與兩圓的半徑和與差進行比較，從而確定出兩圓之間的位置關(guān)系.

二、分類討論解題思想策略的運用

分類討論解題思想策略在數(shù)學問題案例教學中運用廣泛，當我們在解答問題過程中，出現(xiàn)幾種不同的問題或條件，此時就需要按照和結(jié)合問題條件要求，進行情況分類，并逐一研究解決.這一進程中，就滲透了分類討論解題思想策略.

三、轉(zhuǎn)化化歸解題思想策略的運用

數(shù)學學科知識點之間聯(lián)系深刻，關(guān)系密切，在解答問題過程中，借助于數(shù)學知識點深刻關(guān)聯(lián)性，將較難問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.如一次函數(shù)問題案例，可以利用一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）關(guān)系，進行解題思路轉(zhuǎn)化，將一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元一次方程、一元二次方程（組）案例進行解答.

問題：如圖，以正方形ABCD平行于邊的對稱軸為坐標軸建立直角坐標系，若正方形的邊長為4.（1）求過B、E、F三點的二次函數(shù)的解析式；（2）求此拋物線的頂點坐標.

分析：這是關(guān)于運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及運用正方形的性質(zhì)求解問題的案例，在解答該問題（1）時，可以根據(jù)B、E、F三點的坐標，設(shè)該函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，并將三個點的坐標數(shù)帶入其中，即可求解；第（2）小題可以利用函數(shù)解析式頂點的求解方法，把函數(shù)解析式化為頂點式后即可得出答案.

四、方程解題思想策略的運用

在求解數(shù)學問題案例過程中，從問題的數(shù)量關(guān)系入手，從已知量和未知量之間找出相等關(guān)系，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

問題：已知有一個拋物線，它與x軸的兩個交點分別是A（-2，0）、B（1，0），并且都經(jīng)過點C（2，8）.（1）試求出這個拋物線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線頂點的求解方法，求出這個拋物線的頂點坐標.

分析：這是一道關(guān)于二次函數(shù)方面的案例，如果單從題意上理解，進行拋物線的函數(shù)解析式求解，較為困難.根據(jù)問題條件及解題要求，教師可以借助于二次函數(shù)與方程組之間的關(guān)系，將二次函數(shù)解析式的求解方法變?yōu)榱蟹匠探M解題的方法，通過解方程組求出函數(shù)解析式.在這一過程中，教師通過運用方程思想對問題進行了有效解答.